Aufgabe 1 Grundintegrale und Potenzregel
GrundlagenBestimmen Sie eine Stammfunktion von (für ).
- :
- :
- :
- :
- :
- :
- Potenzregel mit : .
- Summen- und Faktorregel: .
- , : .
- , : .
- : Faktorregel und Grundintegral . Für : .
- , : .
2. Semester · Integralrechnung · Thema 2
Stammfunktion und unbestimmtes Integral
Sie lernen, zu einer Funktion eine Funktion mit zu finden – mit Grundintegralen und Rechenregeln. Das ist die Umkehrung des Ableitens und die Grundlage für das Berechnen von Integralen.
1 Definitionen
Beim Ableiten ist gegeben und gesucht. Jetzt geht es um die umgekehrte Frage: Die Ableitung ist gegeben – welche Funktion hat diese Ableitung?
Definition 1 · Stammfunktion
Die Funktion sei auf einem Intervall definiert. Eine differenzierbare Funktion heißt Stammfunktion von auf , wenn für alle gilt:
Beispiel: ist eine Stammfunktion von , denn . Auch und sind Stammfunktionen von , denn eine Konstante fällt beim Ableiten weg.
Definition 2 · Alle Stammfunktionen
Ist eine Stammfunktion von auf dem Intervall , dann sind genau die Funktionen
Stammfunktionen von auf . Die Zahl heißt Integrationskonstante. Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich also nur um eine Konstante.
Definition 3 · Unbestimmtes Integral
Die Gesamtheit aller Stammfunktionen von heißt unbestimmtes Integral von . Man schreibt
Wie beim bestimmten Integral heißt der Integrand und die Integrationsvariable. Das unbestimmte Integral hat keine Grenzen; sein Ergebnis ist eine Funktion (mit ), keine Zahl.
Definition 4 · Grundintegrale
Jede Ableitungsregel liefert, rückwärts gelesen, ein Grundintegral:
| Funktion | Stammfunktion |
|---|---|
| (Konstante) | |
| () | |
| () | |
Die Potenzregel gilt auch für negative und gebrochene Exponenten, z. B. für und (dann für ). Nur für gilt sie nicht – dort hilft der Logarithmus.
Definition 5 · Rechenregeln
und seien Funktionen mit den Stammfunktionen und , sei eine Zahl.
- Faktorregel:
- Summenregel:
- Lineare Substitution: Für gilt
Begründung der linearen Substitution mit der Kettenregel: Die innere Funktion hat die Ableitung . Also gilt
Beim Ableiten entsteht der Faktor (innere Ableitung). Beim Integrieren gleicht man ihn durch den Faktor aus. Beispiele:
Merke
- Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens. Jedes Ergebnis lässt sich durch Ableiten kontrollieren (Probe).
- Wurzeln und Brüche zuerst als Potenzen schreiben: , , .
- Für Produkte und Quotienten gibt es keine einfache Regel: erst ausmultiplizieren oder aufteilen, dann integrieren.
- Steht im Argument , dann durch teilen (lineare Substitution).
- Beim unbestimmten Integral das nicht vergessen.
2 Typische Ausdrucksweisen und Darstellungen
Formulierungen in Aufgaben und Texten
| Formulierung | Bedeutung |
|---|---|
| „Bestimmen Sie eine Stammfunktion von .“ | Eine Funktion mit angeben; darf man frei wählen, meist . |
| „Bestimmen Sie alle Stammfunktionen von .“ „Bestimmen Sie das unbestimmte Integral.“ | Ergebnis mit Integrationskonstante: . |
| „Bestimmen Sie die Stammfunktion von , deren Graph durch den Punkt verläuft.“ | Erst bestimmen, dann aus der Bedingung berechnen. |
| „Zeigen Sie, dass eine Stammfunktion von ist.“ | ableiten und zeigen, dass gilt. |
| „Zu Beginn beträgt der Bestand …“ / „zum Zeitpunkt …“ | Das ist eine Anfangsbedingung: Sie legt die Konstante fest. |
| „Die Änderungsrate des Bestands ist .“ | Der Bestand ist eine Stammfunktion der Rate: . |
Schreibweisen
| Schreibweise | Gelesen / Bedeutung |
|---|---|
| „Integral über von d gleich von plus “ | |
| „ Strich von gleich von “: ist eine Stammfunktion von . | |
| dasselbe wie ; im Eingabefeld: x^(-1/2) | |
| „Logarithmus naturalis von Betrag “; für einfach , im Eingabefeld ln(x) | |
| „aufleiten“ | umgangssprachlich für „eine Stammfunktion bilden“ – in Klausuren besser „integrieren“ |
Sprachliche Stolpersteine
- die Stammfunktion – eine Stammfunktion: Es gibt unendlich viele. „Die“ Stammfunktion sagt man nur, wenn eine Bedingung sie festlegt.
- unbestimmtes Integral (ohne Grenzen, Ergebnis Funktion) – bestimmtes Integral (mit Grenzen, Ergebnis Zahl).
- integrieren (Verb) – das Integral (Nomen) – die Integration (der Vorgang).
- und gehören zusammen wie Klammern: Der Integrand steht dazwischen.
3 Beispielaufgabe mit Musterlösung
Aufgabe
- Bestimmen Sie das unbestimmte Integral für .
- Bestimmen Sie das unbestimmte Integral .
- Bestimmen Sie die Stammfunktion von , deren Graph durch den Punkt verläuft.
Lösung zu a)
1. Allgemeiner Ansatz: Summen- und Faktorregel, für jeden Summanden die Potenzregel .
2. Umformen: Bruch und Wurzel als Potenzen schreiben:
3. Einsetzen: Exponenten , und :
4. Probe:
Lösung zu b)
1. Allgemeiner Ansatz: lineare Substitution mit den Grundintegralen und .
2. Innere Funktionen: mit und mit .
3. Einsetzen:
4. Probe (Kettenregel):
Lösung zu c)
1. Allgemeiner Ansatz: Alle Stammfunktionen bestimmen, dann aus der Bedingung berechnen.
2. Alle Stammfunktionen:
3. Bedingung einsetzen:
Die gesuchte Stammfunktion ist .
| Teil | Ergebnis |
|---|---|
| a) | |
| b) | |
| c) |
4 Übungen
Die Teilaufgaben werden von a) nach f) schwieriger. Tragen Sie Ihre Ergebnisse ein und klicken Sie auf „Eingaben prüfen“. Grün heißt richtig, Gelb: der Wert stimmt, die Form noch nicht, Rot: noch nicht richtig.
So geben Sie Stammfunktionen ein
- Sobald Sie in ein Feld tippen, erscheinen darunter Knöpfe für Potenzen, Klammern, Brüche, , , , und .
- Potenzen mit ^, Brüche mit /: als x^3/3, als x^(3/2), als e^(3x).
- Funktionen immer mit Klammer: ln(x), sin(2x).
- Lassen Sie weg – jede richtige Stammfunktion wird akzeptiert.
Aufgabe 2 Rechenregeln anwenden
RechenregelnBestimmen Sie das unbestimmte Integral (für ). Formen Sie den Integranden, wenn nötig, zuerst um.
- .
- .
- Erst ausmultiplizieren: . Dann .
(Auch ist richtig: lineare Substitution mit . Beide Ergebnisse unterscheiden sich nur um eine Konstante.) - Aufteilen: . Dann .
- . Potenzregel: .
- Aufteilen: . Dann .
Aufgabe 3 Lineare Substitution
Lineare SubstitutionBestimmen Sie mit der Regel eine Stammfunktion (für ).
- : .
- , Stammfunktion von ist : .
- : .
- , also : .
- , Stammfunktion von ist : (für ist ).
- . Stammfunktion von ist ; : .
5 Sachaufgaben und weiterführende Aufgaben
Aufgabe 4 Stammfunktion mit Bedingung
weiterführendBestimmen Sie die Stammfunktion von , die die Bedingung erfüllt. Geben Sie vollständig an (mit dem passenden Wert für ).
- , :
- , der Graph von verläuft durch :
- , :
- , :
- (), :
- ; . Also .
- ; . Also .
- ; . Also .
- ; . Also .
- ; . Also .
Aufgabe 5 Wachstum einer Bakterienkolonie
TextaufgabeAuf einem Nährboden wächst eine Bakterienkolonie. Ihre Fläche in nimmt mit der Änderungsrate
zu ( in Stunden, in ). Zu Beginn () ist die Kolonie groß.
- Bestimmen Sie alle Stammfunktionen von :
- Bestimmen Sie die Funktion mit :
- Fläche nach Stunden: , nach Stunden:
- Berechnen Sie, nach wie vielen Stunden die Kolonie groß ist: h
- . Potenzregel: .
- ; Anfangsbedingung . Also .
- , .
- Ansatz . Mit (denn ) folgt . Nach Stunden ist die Kolonie groß.
Aufgabe 6 Wundheilung
TextaufgabeNach einer Operation wird die Fläche einer Wunde beobachtet ( in Tagen, in ). Die Fläche ändert sich mit der Rate
Zu Beginn () ist die Wunde groß.
- Bestimmen Sie eine Stammfunktion von :
- Bestimmen Sie mit :
- Fläche nach Tagen:
- Die Fläche ist kleiner als ab dem Zeitpunkt Tage.
- Beurteilen Sie das Modell:
- . Stammfunktion von ist ; lineare Substitution mit : .
- ; . Also .
- .
- .
- Für große wird beliebig klein, nähert sich aber nur . Das Modell sagt also keine vollständige Heilung voraus. für alle : Die Fläche nimmt immer ab, aber immer langsamer. Für lange Zeiträume ist das Modell nicht geeignet.
Aufgabe 7 Wahr oder falsch?
Wahr/FalschEntscheiden Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung in Ihren Notizen und vergleichen Sie mit der Lösung.
- ist eine Stammfunktion von .
- kann man mit der Potenzregel berechnen.
- Zwei Stammfunktionen derselben Funktion auf einem Intervall unterscheiden sich nur um eine Konstante.
- Jede Stammfunktion von hat einen Graphen, der durch den Ursprung verläuft.
- wahr. .
- falsch. Probe: . Richtig ist .
- falsch. Mit entstünde – Division durch . Die Potenzregel gilt nur für . Richtig: .
- falsch. Gegenbeispiel : , aber . Für Produkte gibt es keine so einfache Regel.
- wahr. Das ist Definition 2. Sind und Stammfunktionen von , dann ist , also ist konstant.
- falsch. Die Stammfunktionen sind . Nur für verläuft der Graph durch den Ursprung; z. B. nicht.
Aufgabe 8 Nehmen Sie Stellung
StellungnahmeNehmen Sie Stellung zu den Rechnungen und Aussagen. Wählen Sie die zutreffende Beurteilung und formulieren Sie Ihre Stellungnahme in vollständigen Sätzen in Ihren Notizen.
- Lisa: „Ich integriere Zähler und Nenner einzeln: .“
- Tom: „.“
- Sara: „ und sind beide Stammfunktionen von .“
- Mögliche Stellungnahme: Die Rechnung ist falsch. Für Quotienten gibt es keine Regel „Zähler und Nenner einzeln integrieren“. Man kürzt zuerst: . Dann ist . Die Probe zeigt den Fehler sofort: Lisas Term vereinfacht sich zu , seine Ableitung ist und nicht .
- Mögliche Stellungnahme: Das Ergebnis ist falsch. Die Stammfunktion von ist ; wegen der inneren Funktion mit kommt noch der Faktor dazu. Richtig ist . Probe für Toms Term: – das Dreifache des Integranden.
- Mögliche Stellungnahme: Sara hat recht. und . Ausmultipliziert ist : Die beiden Stammfunktionen unterscheiden sich nur um die Konstante .
6 Das Wichtigste auf einen Blick
| Regel | Formel |
|---|---|
| Stammfunktion | ; alle Stammfunktionen: |
| Potenzregel () | |
| Grundintegrale | , , |
| Faktor- und Summenregel | |
| lineare Substitution |
Vorgehen
- Integranden umformen: Wurzeln und Brüche als Potenzen schreiben, Produkte ausmultiplizieren, Quotienten aufteilen.
- Summand für Summand integrieren (Grundintegrale, Faktor- und Summenregel).
- Steht im Argument : Stammfunktion bilden und durch teilen.
- ergänzen. Ist eine Bedingung gegeben, daraus berechnen.
- Probe durch Ableiten.
Typische Fehler
- Exponent falsch: (das ist die Ableitung), richtig ist .
- Potenzregel bei angewendet – richtig ist .
- Vorzeichen: .
- Bei den Faktor vergessen.
- Zähler und Nenner bzw. die Faktoren eines Produkts einzeln integriert.
- Bei negativen und gebrochenen Exponenten verrechnet: , .
Fachwortschatz
Stammfunktion · Integrationskonstante · unbestimmtes Integral · Integrand · Integrationsvariable · Grundintegral · Potenzregel · Faktorregel · Summenregel · lineare Substitution · Anfangsbedingung · Probe
Ausblick: Im nächsten Thema verbindet der Hauptsatz das unbestimmte mit dem bestimmten Integral: Mit einer Stammfunktion berechnen Sie Flächen und Bestände ohne Rechtecksummen.