Sie lernen, wie man die Fläche unter einer Kurve mit Rechtecken immer genauer annähert, was das bestimmte Integral bedeutet und warum Flächen unterhalb der -Achse negativ zählen.
1 Definitionen
Den Inhalt eines Rechtecks oder eines Dreiecks können Sie berechnen. Ist ein Rand aber gekrümmt, gibt es keine einfache Formel. Die Idee: Man zerlegt die Fläche in schmale Streifen und ersetzt jeden Streifen durch ein Rechteck. Je schmaler die Streifen sind, desto genauer wird die Näherung.
Definition 1 · Zerlegung, Untersumme und Obersumme
Die Funktion sei auf dem Intervall stetig. Man zerlegt in gleich breite Streifen. Jeder Streifen hat die Breite
Die Teilungspunkte sind für . Über dem -ten Streifen steht ein Rechteck mit der Breite .
Ist die Höhe der kleinste Funktionswert von im Streifen, heißt die Summe der Rechtecke Untersumme:
Ist die Höhe der größte Funktionswert von im Streifen, heißt die Summe Obersumme:
Solche Summen von Rechtecken heißen Rechtecksummen oder Riemannsummen. Nimmt man als Höhe den Funktionswert in der Mitte des Streifens, erhält man die Mittelpunktsumme.
Untersumme Obersumme
Die Rechtecke der Untersumme liegen unter dem Graphen, die der Obersumme ragen über ihn hinaus. Für jedes ist die Untersumme deshalb höchstens so groß wie die Fläche, die Obersumme mindestens so groß. Die gesuchte Fläche liegt also zwischen und .
Definition 2 · Das bestimmte Integral
Die Funktion sei auf stetig. Wird die Anzahl der Streifen immer größer (), dann nähern sich die Untersummen und die Obersummen demselben Grenzwert. Dieser Grenzwert heißt bestimmtes Integral von über :
Bezeichnungen: ist die untere Grenze, die obere Grenze, das Integrationsintervall, der Integrand und die Integrationsvariable.
Das Zeichen ist ein langgezogenes S – für „Summe“. Das erinnert an die Breite der Streifen, die immer kleiner wird. Die Animation in der Beispielaufgabe (Abschnitt 3) zeigt, wie sich die Rechtecksummen dem Integral nähern.
Definition 3 · Orientierter Flächeninhalt
Liegt der Graph von unterhalb der -Achse, ist . Die Rechtecke haben dann eine negative Höhe, ihr Produkt ist negativ. Deshalb gilt:
Flächenstücke oberhalb der -Achse zählen beim Integral positiv,
Flächenstücke unterhalb der -Achse zählen beim Integral negativ.
Das bestimmte Integral ist ein orientierter Flächeninhalt. Für die Flächenstücke in der Abbildung gilt:
Der Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen und der -Achse ist dagegen . Er ist nie negativ.
und liegen oberhalb, liegt unterhalb der -Achse.
Definition 4 · Festlegungen für die Grenzen
Für eine stetige Funktion legt man fest:
Vertauscht man die Grenzen, ändert sich also das Vorzeichen.
Merke
Rechtecksummen sind Näherungswerte. Das Integral ist ihr Grenzwert für .
Für jedes gilt: .
Ist auf , ist das Integral gleich dem Flächeninhalt. Sonst zählen Flächenstücke unterhalb der -Achse negativ.
Integrale über aneinandergrenzende Intervalle darf man addieren: .
Ein bestimmtes Integral ist eine Zahl. Wie man diese Zahl exakt berechnet, lernen Sie in Thema 2 (Stammfunktion) und Thema 3 (Hauptsatz).
2 Typische Ausdrucksweisen und Darstellungen
Formulierungen in Aufgaben und Texten
Formulierung
Bedeutung
„Bestimmen Sie das Integral anhand des Graphen.“
Den Wert über Flächen am Graphen ermitteln (Rechtecke, Dreiecke, Kästchen) – mit Vorzeichen.
„Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von mit der -Achse einschließt.“
Gesucht ist ein Flächeninhalt: Teilflächen einzeln bestimmen und alle positiv addieren.
„Nähern Sie die Fläche durch Rechtecke an.“ „Bestimmen Sie die Untersumme .“
Intervall in gleich breite Streifen zerlegen; Höhe jeweils der kleinste Funktionswert im Streifen.
„Die Zerlegung wird verfeinert.“
Die Anzahl der Streifen wird größer, die Streifen werden schmaler.
„Der Graph verläuft oberhalb / unterhalb der -Achse.“
Es gilt bzw. .
„Begründen Sie, dass das Integral negativ ist.“
Zeigen, dass die Flächenstücke unterhalb der -Achse zusammen größer sind als die oberhalb.
„Schätzen Sie den Wert des Integrals ab.“
Einen Näherungswert angeben, z. B. mit Rechtecken oder durch Zählen von Kästchen.
Schreibweisen
Schreibweise
Gelesen / Bedeutung
„Integral von bis über von d“
„Delta “: Breite eines Streifens
,
Untersumme und Obersumme mit Streifen, z. B. „U vier“
„Limes von für gegen unendlich“: der Grenzwert
Die Integrationsvariable heißt hier . Der Wert hängt nicht vom Namen der Variablen ab: .
Bedeutung im Sachzusammenhang
Ein Rechteck hat den Inhalt „Breite mal Höhe“. Deshalb hat ein Integral die Einheit Einheit der -Achse mal Einheit der -Achse.
-Achse
-Achse
Integral
Zeit in h
Infusionsrate in
Volumen in mL
Zeit in s
Atemstrom in
Luftvolumen in L
Zeit in h
Konzentration in
(AUC)
Sprachliche Stolpersteine
Integral und Flächeninhalt sind nicht dasselbe: Ein Integral kann negativ oder sein, ein Flächeninhalt nie.
„Ober-“ in Obersumme meint die größere Summe, nicht „oberhalb der -Achse“.
Das bestimmte Integral ist eine Zahl, keine Funktion.
gehört zum Integral. Es zeigt, nach welcher Variablen integriert wird.
die Grenze (Nomen) – „untere Grenze“, „obere Grenze“; begrenzen (Verb) – „Die Fläche wird von der -Achse begrenzt.“
3 Beispielaufgabe mit Musterlösung
Aufgabe
Gegeben ist die Funktion mit auf dem Intervall .
Berechnen Sie die Untersumme und die Obersumme .
Untersuchen Sie mit der Animation, wie sich und verändern, wenn größer wird. Geben Sie den Wert des Integrals an.
Gegeben ist außerdem . Bestimmen Sie und den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von und der -Achse über .
Lösung zu a)
1. Allgemeiner Ansatz. Streifenbreite . Der Graph von steigt auf . Deshalb liegt der kleinste Funktionswert jedes Streifens am linken Rand, der größte am rechten Rand:
2. Einsetzen. : , Teilungspunkte mit den Funktionswerten
Also gilt . Diese Näherung ist noch sehr grob.
Lösung zu b)
Stellen Sie mit dem Regler verschiedene Werte für ein oder starten Sie die Animation. Wechseln Sie zwischen Untersumme, Obersumme und Mittelpunktsumme.
Rechtecksummen für über
Beobachtung: Mit wachsendem werden die Untersummen größer und die Obersummen kleiner. Der Unterschied wird beliebig klein. Hier gilt sogar
Verdoppelt man , halbiert sich der Unterschied.
Ergebnis: Beide Folgen nähern sich dem Wert . Also ist
Die Mittelpunktsumme liegt schon für kleine sehr nah an . Wie man den Wert exakt berechnet, ohne Rechtecke zu addieren, lernen Sie in Thema 3.
Lösung zu c)
1. Allgemein: Integral = Flächen oberhalb der -Achse minus Flächen unterhalb der -Achse. Der Flächeninhalt ist die Summe aller Teilflächen.
2. Nullstelle und Teilflächen: . Auf liegt der Graph unterhalb, auf oberhalb der -Achse. Beide Teilflächen sind Dreiecke:
3. Einsetzen:
Rechtecksummen für : Rechtecke unterhalb der -Achse zählen negativ (rot).
Bei einer linearen Funktion ist die Mittelpunktsumme für jedes genau : In jedem Streifen gleichen sich die Dreiecke über und unter dem Rechteck aus. Prüfen Sie das in der Animation.
Teil
Ergebnis
a) Rechtecksummen mit
,
b) Grenzwert
c) orientierter Flächeninhalt
c) Flächeninhalt
4 Übungen
In diesem Thema rechnen Sie noch nicht mit Formeln: Lesen Sie Werte am Graphen ab, vergleichen Sie und begründen Sie. Tragen Sie Ihre Ergebnisse ein und klicken Sie auf „Eingaben prüfen“. Grün heißt richtig, Rot: noch nicht richtig. Negative Zahlen mit Minus (-5).
Aufgabe 1 Integrale am Graphen ablesen
Grundlagen
Der Graph von besteht aus Strecken. Bestimmen Sie die Integrale anhand des Graphen (Rechtecke und Dreiecke).
Graph von auf
Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen und der -Achse über :
Rechteck mit Breite und Höhe oberhalb der -Achse: .
Nullstelle bei . Dreieck über oberhalb: ; Dreieck über unterhalb: . Zusammen: .
Rechteck über unterhalb: ; Dreieck über unterhalb: . Zusammen: .
Intervalle zusammensetzen: . Flächeninhalt: alle Teilflächen positiv addieren: .
Grenzen vertauscht: .
Aufgabe 2 Vorzeichen und Vergleiche
Verständnis
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion mit den Nullstellen , und . Entscheiden Sie anhand des Graphen, welches Zeichen (, , ) richtig ist. Begründen Sie in Ihren Notizen.
Graph von
Für die Untersumme und die Obersumme von über gilt:
Auf verläuft der Graph oberhalb der -Achse. Die Fläche zählt positiv, das Integral ist positiv.
Auf verläuft der Graph unterhalb der -Achse. Die Fläche zählt negativ.
. Die Fläche oberhalb der -Achse ist deutlich größer als die Fläche unterhalb (höher und breiter). Die Summe ist deshalb positiv. (Genauer Wert: und .)
Die Rechtecke der Untersumme liegen ganz unter dem Graphen, die der Obersumme ragen über ihn hinaus. Weil auf nicht konstant ist, gilt jeweils das echte Kleiner-Zeichen.
Grenzen vertauscht: . Weil negativ ist, ist positiv.
Aufgabe 3 Wahr oder falsch?
Wahr/Falsch
Die Funktion ist stetig. Entscheiden Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung in Ihren Notizen und vergleichen Sie mit der Lösung.
Ist auf , dann ist der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen und der -Achse.
Ein bestimmtes Integral ist niemals negativ.
Ist , dann gilt für alle in .
Für jede Anzahl von Streifen gilt .
Verdoppelt man alle Funktionswerte von , dann verdoppelt sich auch das Integral .
wahr. Wenn der Graph nirgends unterhalb der -Achse liegt, gibt es keine negativ zählenden Flächenstücke. Orientierter Flächeninhalt und Flächeninhalt stimmen überein.
falsch. Liegt der Graph unterhalb der -Achse, ist das Integral negativ. Beispiel: In Aufgabe 1 ist .
falsch. Flächenstücke ober- und unterhalb der -Achse können sich aufheben. Beispiel: In Aufgabe 1 ist , aber ist dort nicht überall .
wahr. Die Rechtecke der Untersumme liegen unter dem Graphen, die der Obersumme darüber. Das gilt für jede Zerlegung, auch wenn Teile des Graphen unterhalb der -Achse liegen.
wahr. Jedes Rechteck wird doppelt so hoch, also doppelt so groß. Damit verdoppelt sich jede Rechtecksumme – und damit auch ihr Grenzwert, das Integral. Kurz: .
5 Das Wichtigste auf einen Blick
Begriff
Bedeutung
Streifenbreite
Untersumme / Obersumme
Summe von Rechtecken mit dem kleinsten bzw. größten Funktionswert im Streifen als Höhe
bestimmtes Integral
orientierter Flächeninhalt
Flächen oberhalb der -Achse positiv, unterhalb negativ
Flächeninhalt
Summe der Inhalte aller Teilflächen, nie negativ
Grenzen
,
Vorgehen: Integral am Graphen bestimmen
Nullstellen im Intervall suchen: Dort wechselt der Graph die Seite der -Achse.
Die Fläche in Teilflächen zerlegen (Rechtecke, Dreiecke) und deren Inhalte bestimmen.
Teilflächen oberhalb der -Achse mit , unterhalb mit addieren: Das ist das Integral.
Für den Flächeninhalt dagegen alle Teilflächen mit addieren.
Typische Fehler
Integral und Flächeninhalt verwechselt: Ein Integral von heißt nicht, dass keine Fläche da ist.
Flächen unterhalb der -Achse positiv gezählt, obwohl das Integral gesucht ist.
Untersumme gebildet mit dem Wert am linken Rand, obwohl der Graph fällt: Die Höhe ist immer der kleinste Wert im Streifen.
Vorzeichen beim Vertauschen der Grenzen vergessen.
Rechtecksumme mit dem Integral verwechselt: und sind nur Näherungswerte.
Ausblick: Integrale über Rechtecksummen zu berechnen, ist mühsam. Im nächsten Thema lernen Sie Stammfunktionen kennen. Mit ihnen berechnen Sie Integrale in Thema 3 exakt und schnell.