Lernpfad Mathematik Studienkolleg · M-Kurs
2. Semester · Integralrechnung · Thema 3

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Sie lernen, bestimmte Integrale mit einer Stammfunktion schnell und exakt zu berechnen: . Damit bestimmen Sie Flächeninhalte und rekonstruieren Bestände aus Änderungsraten.

1 Definitionen

In Thema 1 war das bestimmte Integral ein Grenzwert von Rechtecksummen – anschaulich, aber mühsam zu berechnen. In Thema 2 haben Sie Stammfunktionen kennengelernt. Der Hauptsatz verbindet beides.

Definition 1 · Integralfunktion

Die Funktion sei auf einem Intervall stetig, sei eine feste Zahl aus . Die Funktion

heißt Integralfunktion von zur unteren Grenze . Die obere Grenze ist variabel. gibt den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen von und der -Achse von bis an. Es gilt .

Satz · Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (ohne Beweis)

Die Funktion sei auf dem Intervall stetig.

  1. Jede Integralfunktion von ist eine Stammfunktion von : .
  2. Ist irgendeine Stammfunktion von , dann gilt für alle :

Kurzschreibweise: , gelesen „ von in den Grenzen von bis “.

Der Satz wird hier nicht bewiesen. Er erklärt, warum die Rechtecksummen aus Thema 1 und die Stammfunktionen aus Thema 2 zusammengehören: Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens. Die Integrationskonstante spielt keine Rolle, denn

Definition 2 · Änderungsrate und Bestand

Eine Größe (z. B. eine Wirkstoffmenge oder eine Personenzahl) heißt Bestand. Ihre momentane Änderungsrate ist . Dann ist eine Stammfunktion von , und nach dem Hauptsatz gilt:

  • Änderung des Bestands im Zeitraum :
  • Bestandsfunktion bei bekanntem Anfangsbestand :

Ist , nimmt der Bestand zu; ist , nimmt er ab. Das Integral der Rate allein liefert nur die Änderung, nicht den Bestand selbst.

Definition 3 · Flächeninhalt zwischen Graph und -Achse

Das Integral misst den orientierten Flächeninhalt (Thema 1). Für den Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen von und der -Achse über gilt:

  1. Nullstellen von zwischen und bestimmen.
  2. Teilintegrale zwischen benachbarten Grenzen berechnen:
  3. Beträge addieren:
Merke · Rechenregeln für bestimmte Integrale

  • ,  
  • Immer obere Grenze minus untere Grenze: , nicht .
  • Beim Einsetzen negativer Grenzen Klammern setzen: für ist .

2 Typische Ausdrucksweisen und Darstellungen

Formulierungen in Aufgaben und Texten

FormulierungBedeutung
„Berechnen Sie das Integral .“Stammfunktion bestimmen, berechnen. Das Ergebnis darf negativ sein.
„Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von mit der -Achse einschließt.“Grenzen sind die Nullstellen; Teilintegrale getrennt berechnen und Beträge addieren.
„Die Rate, mit der … zunimmt / abnimmt, wird beschrieben durch .“ ist die Änderungsrate, nicht der Bestand.
„Berechnen Sie die Zunahme im Zeitraum von bis .“ berechnen.
„Rekonstruieren Sie den Bestand.“
„Bestimmen Sie die Bestandsfunktion.“		 aufstellen.
„Interpretieren Sie das Integral im Sachzusammenhang.“In einem Satz mit Einheit sagen, was die Zahl bedeutet, z. B. „Zwischen 12 und 16 Uhr nimmt die Zahl der Personen um 24 ab.“
„langfristig“, „auf lange Sicht“Verhalten für untersuchen.

Schreibweisen

SchreibweiseGelesen / Bedeutung
„ von in den Grenzen von bis “
Erst die Stammfunktion in die eckige Klammer schreiben, dann einsetzen.
Integralfunktion: Die Integrationsvariable heißt , weil schon die obere Grenze ist.
Die Ableitung des Bestands ist die Änderungsrate.

Einheiten im Sachzusammenhang

RateZeitIntegral der Rate
hWirkstoffmenge in mg
sLuftvolumen in L
Personen pro StundehAnzahl Personen
hTemperaturänderung in °C
Sprachliche Stolpersteine
  • die Rate (wie schnell sich etwas ändert) – der Bestand (wie viel vorhanden ist). Eine Rate von heißt nicht „Bestand “, sondern „im Moment keine Änderung“.
  • zunehmen / abnehmen (Verben) – die Zunahme / die Abnahme (Nomen).
  • einschließen: „Der Graph schließt mit der -Achse eine Fläche ein.“ – Partizip: „die eingeschlossene Fläche“.
  • „Integral“ (Zahl, kann negativ sein) und „Flächeninhalt“ (nie negativ) genau unterscheiden.

3 Beispielaufgaben mit Musterlösung

Beispiel 1: Integral und Flächeninhalt

Aufgabe

Gegeben ist .

  1. Berechnen Sie .
  2. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von und der -Achse über .
xy123−3−2−110Gf
Über liegt die Fläche unterhalb, über oberhalb der -Achse.

Lösung zu a)

1. Allgemeiner Ansatz: Hauptsatz mit einer Stammfunktion .

2. Stammfunktion (Potenzregel, ):

3. Einsetzen:

Das Integral ist : Die Fläche unterhalb und die Fläche oberhalb der -Achse heben sich auf.

Lösung zu b)

1. Nullstellen:

Nullstellen , . Im Intervall liegt nur im Inneren.

2. Teilintegrale mit , , :

3. Beträge addieren:

SchrittErgebnis
Stammfunktion
Integral
Nullstellen,  
Teilintegrale,  
Flächeninhalt

Beispiel 2: Bestand aus der Änderungsrate

Aufgabe

In der Notaufnahme eines Krankenhauses sind um 8 Uhr () Personen. Von 8 bis 16 Uhr ändert sich die Anzahl der Personen mit der Rate

in Stunden nach 8 Uhr, in Personen pro Stunde.

  1. Berechnen Sie die Änderung der Personenzahl von 8 bis 10 Uhr.
  2. Bestimmen Sie die Bestandsfunktion .
  3. Bestimmen Sie, wann die meisten Personen in der Notaufnahme sind und wie viele es dann sind.
  4. Berechnen Sie und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
t in hr(t)246−12−8−448120
Änderungsrate
t in hB(t)246102030400H(4 | 44)
Bestand

Lösung zu a)

Allgemein: Änderung . Stammfunktion von : . Einsetzen:

Von 8 bis 10 Uhr nimmt die Zahl der Personen um zu.

Lösung zu b)

Allgemein: . Einsetzen mit :

Lösung zu c)

Der Bestand wächst, solange ist, und fällt, sobald ist. Also liegt das Maximum dort, wo die Rate das Vorzeichen von nach wechselt:

Um 12 Uhr sind die meisten Personen in der Notaufnahme, nämlich .

Lösung zu d)

Interpretation: Zwischen 12 und 16 Uhr nimmt die Zahl der Personen um ab. Um 16 Uhr sind wieder Personen da.

TeilErgebnis
a) Änderung 8–10 Uhr
b) Bestandsfunktion
c) Maximum (12 Uhr),
d) Änderung 12–16 Uhr (Abnahme um 24)

4 Übungen

Die Teilaufgaben werden von a) nach f) schwieriger. Tragen Sie Ihre Ergebnisse ein und klicken Sie auf „Eingaben prüfen“. Grün heißt richtig, Gelb: der Wert stimmt, die Form noch nicht, Rot: noch nicht richtig. Exakte Ergebnisse als Bruch (14/3) oder mit e, ln( ) und pi, z. B. (e^2-1)/2.

Aufgabe 1 Integrale mit dem Hauptsatz

Grundlagen

Berechnen Sie das Integral exakt.

Aufgabe 2 Integrale mit , , und

Grundintegrale

Berechnen Sie das Integral exakt.

Aufgabe 3 Integral und Flächeninhalt

Flächen

Berechnen Sie das Integral und den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von und der -Achse über dem angegebenen Intervall. In e) und f) ist gesucht.

  1. über
    Integral:   Flächeninhalt:
  2. über
    Integral:   Flächeninhalt:
  3. über
    Integral:   Flächeninhalt:
  4. über
    Integral:   Flächeninhalt:
  5.  für
  6.  für

5 Sachaufgaben und weiterführende Aufgaben

Aufgabe 4 Aufnahme eines Wirkstoffs

Textaufgabe

Nach der Einnahme einer Tablette gelangt ein Wirkstoff aus dem Magen-Darm-Trakt ins Blut. Die Aufnahmerate wird modelliert durch

( in Stunden nach der Einnahme, in ). Zu Beginn ist kein Wirkstoff im Blut.

t in hr in mg/h12345678102030400
Aufnahmerate ; gefärbt: aufgenommene Menge in den ersten 2 Stunden
  1. Aufgenommene Menge in den ersten Stunden: mg mg
  2. Aufgenommene Menge von bis : mg
  3. Bestimmen Sie die bis zum Zeitpunkt aufgenommene Menge:
  4. Langfristig wird insgesamt die Menge mg aufgenommen.
  5. Die Hälfte dieser Menge ist nach Stunden aufgenommen.

Aufgabe 5 Atemzugvolumen

Textaufgabe

Beim ruhigen Atmen wird die Atemstromstärke modelliert durch

( in Sekunden, in ). Für wird eingeatmet, für ausgeatmet. Ein Atemzyklus dauert Sekunden.

t in sv in L/s1234567−0,75−0,5−0,250,250,50EinatmenAusatmen
Atemstromstärke
  1. Volumen, das in einem Atemzug eingeatmet wird (): L L
  3. Bestimmen Sie die Änderung des Luftvolumens in der Lunge seit :
  4. Pro Minute werden Atemzüge gemacht. Das Atemminutenvolumen (eingeatmete Luft pro Minute) beträgt L.

Aufgabe 6 Fieberverlauf

Textaufgabe

Bei einem Patienten mit Fieber ändert sich die Körpertemperatur mit der Rate

für ( in Stunden, in ). Zu Beginn () beträgt die Temperatur °C.

  1. Änderung der Temperatur in den ersten Stunden: °C
  2. Bestimmen Sie die Temperaturfunktion:
  3. Die Temperatur ist am höchsten zum Zeitpunkt h und beträgt dann °C.
  4. Nach Stunden beträgt die Temperatur °C.

Aufgabe 7 Wahr oder falsch?

Wahr/Falsch

Die Funktion ist stetig. Entscheiden Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung in Ihren Notizen und vergleichen Sie mit der Lösung.

  1. Für die Berechnung von ist es egal, welche Stammfunktion von man verwendet.
  3. Ist und ist nicht überall , dann hat zwischen und eine Nullstelle.
  4. Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von und der -Achse über ist .
  5. Ist die Rate, mit der Wasser in einen Tank fließt, dann ist die Wassermenge im Tank nach Minuten.
  6. Für ist die Integralfunktion .

Aufgabe 8 Nehmen Sie Stellung

Stellungnahme

Nehmen Sie Stellung zu den Rechnungen und Aussagen. Wählen Sie die zutreffende Beurteilung und formulieren Sie Ihre Stellungnahme in vollständigen Sätzen in Ihren Notizen.

  1. Jonas: „. Also schließt der Graph von über mit der -Achse eine Fläche mit dem Inhalt ein.“
  2. Mira: „ mit .“
  3. Paul (zu Beispiel 2): „Um 12 Uhr ist die Rate . Also ist die Notaufnahme um 12 Uhr leer.“

6 Das Wichtigste auf einen Blick

GesuchtAnsatz
bestimmtes Integral
Flächeninhalt zwischen Graph und -Achsean den Nullstellen zerlegen:
Änderung eines Bestands
Bestandsfunktion
Integralfunktion mit ,
Vorgehen
  1. Eine Stammfunktion bestimmen ( genügt).
  2. Grenzen einsetzen: obere minus untere, negative Zahlen in Klammern.
  3. Ist ein Flächeninhalt gesucht: zuerst die Nullstellen im Intervall bestimmen und an ihnen zerlegen.
  4. Bei Raten: Das Integral ist die Änderung. Für den Bestand den Anfangsbestand addieren.
  5. In Sachaufgaben: Ergebnis mit Einheit angeben und im Sachzusammenhang deuten.
Typische Fehler
  • statt gerechnet.
  • Vorzeichenfehler beim Einsetzen negativer Grenzen: .
  • Über eine Nullstelle hinweg integriert, obwohl ein Flächeninhalt gesucht ist.
  • Das Integral einer Rate für den Bestand gehalten – der Anfangsbestand fehlt.
  • Eine Rate von als „Bestand “ gedeutet.

Fachwortschatz

Hauptsatz · Integralfunktion · Stammfunktion · obere / untere Grenze · Teilintegral · Flächeninhalt · orientierter Flächeninhalt · Änderungsrate · Bestand · Anfangsbestand · Bestandsfunktion · Zunahme / Abnahme

Ausblick: Mit dem Hauptsatz berechnen Sie im nächsten Thema auch Flächen, die von zwei Graphen begrenzt werden.