Aufgabensatz 2

Thema: Nullstellen von Funktionen

Berechnen Sie alle Nullstellen von . Tragen Sie sie der Größe nach ein: .

1. ,  
2. ,  
3. Anzahl der Nullstellen: ,  Nullstelle:
4. ,  
5. ,   ,  
6. mit hat genau eine Nullstelle.
   ,  Nullstelle:

Thema: Verhalten im Unendlichen

Untersuchen Sie das Verhalten von für und . Geben Sie bei gebrochen-rationalen Funktionen die Gleichung der waagerechten Asymptote an.

1. Für gilt – wählen –+∞−∞,
   für gilt – wählen –+∞−∞.
2. Für gilt – wählen –+∞−∞,
   für gilt – wählen –+∞−∞.
3. Für gilt – wählen –+∞−∞,
   für gilt – wählen –+∞−∞.
4. Waagerechte Asymptote:
5. Waagerechte Asymptote:
6. hat die waagerechte Asymptote .
   Welche Funktion hat die waagerechte Asymptote ?
   – wählen –g(x) = (3x² + 1)/(x + 1)g(x) = (6x − 1)/(2x + 5)g(x) = 3x/(x² + 1)g(x) = (x + 3)/(x − 3)

Thema: Symmetrie

Untersuchen Sie den Graphen von auf Symmetrie zur -Achse und zum Ursprung. Formen Sie den Term, falls nötig, zuerst um.

1.  →  – wählen –achsensymmetrisch zur y-Achsepunktsymmetrisch zum Ursprungkeine dieser beiden Symmetrien
2.  →  – wählen –achsensymmetrisch zur y-Achsepunktsymmetrisch zum Ursprungkeine dieser beiden Symmetrien
3.  →  – wählen –achsensymmetrisch zur y-Achsepunktsymmetrisch zum Ursprungkeine dieser beiden Symmetrien
4.  →  – wählen –achsensymmetrisch zur y-Achsepunktsymmetrisch zum Ursprungkeine dieser beiden Symmetrien
5.  →  – wählen –achsensymmetrisch zur y-Achsepunktsymmetrisch zum Ursprungkeine dieser beiden Symmetrien
6. Der Graph von ist für punktsymmetrisch zum Ursprung.

Thema: Monotonie

Geben Sie das Monotonieverhalten von an. Nutzen Sie bei quadratischen Funktionen die Scheitelpunktform.

1. ist auf – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton.
2. ist auf – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton.
3. ist für – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton
   und für – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton.
4. ist für – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton
   und für – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton.
5. ist
   auf – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton,
   auf – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton,
   auf ganz – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton.
6. Der Graph von verläuft durch .
   ;   ist für – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton.

Thema: Verschieben, Strecken und Stauchen

Beschreiben Sie, wie der Graph von aus dem Graphen von hervorgeht, bzw. bestimmen Sie den gesuchten Term oder Parameter. Die Faktoren sind positiv einzutragen.

1. : Verschiebung um – wählen –nach obennach untennach linksnach rechts
2. : – wählen –StreckungStauchung – wählen –in x-Richtungin y-Richtung mit dem Faktor
3. ,
   Scheitelpunkt von : , Parabel – wählen –nach obennach unten geöffnet
4. Der Graph von wird um 3 nach links und um 2 nach oben verschoben.
   xⁿ( )a/b
   Polstelle von : ,  waagerechte Asymptote:
5. , :
   größere Nullstelle von : ,  Scheitelpunkt
6. mit hat den Scheitelpunkt .
   ,   ,  

Thema: Gebrochen-rationale Funktionen

Bestimmen Sie die Definitionslücken und untersuchen Sie sie auf ihre Art. Tragen Sie Lücken der Größe nach ein.

1. ,  
   ,  
2. : – wählen –hebbare DefinitionslückePolstelle mit VorzeichenwechselPolstelle ohne Vorzeichenwechsel
   : – wählen –hebbare DefinitionslückePolstelle mit VorzeichenwechselPolstelle ohne Vorzeichenwechsel
   Loch:
3. : – wählen –hebbare DefinitionslückePolstelle mit VorzeichenwechselPolstelle ohne Vorzeichenwechsel
4. Anzahl der Definitionslücken:
5. : – wählen –hebbare DefinitionslückePolstelle mit VorzeichenwechselPolstelle ohne Vorzeichenwechsel
   : – wählen –hebbare DefinitionslückePolstelle mit VorzeichenwechselPolstelle ohne Vorzeichenwechsel
   Loch:
6. hat bei eine hebbare Definitionslücke.
   ,  Loch:

Themen: Ganzrationale Funktionen · Symmetrie · Nullstellen von Funktionen · Verhalten im Unendlichen · Verschieben, Strecken und Stauchen

Gegeben ist die Funktion mit , .

1. Geben Sie den Grad und das Absolutglied an.
   Grad: ,  Absolutglied:
2. Untersuchen Sie den Graphen von auf Symmetrie.
   Symmetrie des Graphen: – wählen –achsensymmetrisch zur y-Achsepunktsymmetrisch zum Ursprungkeine dieser beiden Symmetrien
3. Berechnen Sie die Nullstellen von ().
   ,   ,  
4. Untersuchen Sie das Verhalten von im Unendlichen.
   Für gilt – wählen –+∞−∞,
   für gilt – wählen –+∞−∞.
5. Für gilt: Verschiebung um – wählen –nach obennach untennach linksnach rechts.
   Symmetrie des Graphen von : – wählen –achsensymmetrisch zur y-Achsepunktsymmetrisch zum Ursprungkeine dieser beiden Symmetrien
   Schnittpunkt mit der -Achse:
6. Für gilt: – wählen –StreckungStauchung – wählen –in x-Richtungin y-Richtung mit dem Faktor .
   Größte Nullstelle von :

Themen: Symmetrie · Verhalten im Unendlichen · Nullstellen von Funktionen · Monotonie · Verschieben, Strecken und Stauchen · Gebrochen-rationale Funktionen

Die Wirkung eines Schmerzmittels hängt von der Dosis ab. Sie wird modelliert durch

Dabei ist die Dosis in mg und die Wirkung in Prozent der größtmöglichen Wirkung.

1. Der Graph des Funktionsterms (für alle ) ist
   – wählen –achsensymmetrisch zur y-Achsepunktsymmetrisch zum Ursprungkeine dieser beiden Symmetrien.
2. Für gilt .
   Im Sachzusammenhang bedeutet das: – wählen –Die Wirkung nähert sich 100 %, erreicht sie aber nie.Ab einer bestimmten Dosis wirkt das Mittel zu 100 %.Bei sehr hohen Dosen nimmt die Wirkung wieder ab.
3. Berechnen Sie die Dosis für eine Wirkung von 50 % und von 80 %.
   50 %: mg
   80 %: mg
4. Es gilt .
   Daraus folgt: ist für – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton.
5. Ein schwächeres Präparat hat die Wirkung .
   – wählen –StreckungStauchung – wählen –in x-Richtungin y-Richtung mit dem Faktor
   50 % Wirkung bei mg
6. Das Modell ist ungeeignet.
   Es hat bei eine – wählen –hebbare DefinitionslückePolstelle mit VorzeichenwechselPolstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Themen: Ganzrationale Funktionen · Nullstellen von Funktionen · Verhalten im Unendlichen · Symmetrie · Monotonie · Verschieben, Strecken und Stauchen

Entscheiden Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung in Ihren Notizen – bei falschen Aussagen mit einem Gegenbeispiel – und vergleichen Sie mit der Lösung.

1. Die Funktion hat den Grad 6. – wählen –wahrfalsch
2. Eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 hat immer genau drei Nullstellen. – wählen –wahrfalsch
3. Ist bei einer gebrochen-rationalen Funktion der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so ist die -Achse waagerechte Asymptote. – wählen –wahrfalsch
4. Ist der Graph von punktsymmetrisch zum Ursprung und , so gilt . – wählen –wahrfalsch
5. Gilt , so ist auf streng monoton steigend. – wählen –wahrfalsch
6. Die Graphen von und sind für jede Funktion gleich. – wählen –wahrfalsch