Lernpfad Funktionen Studienkolleg · M-Kurs
Lernpfad · Thema 3

Verschieben, Strecken und Stauchen von Graphen

Sie lernen, wie Parameter im Funktionsterm den Graphen verändern: Verschiebung in - und -Richtung, Streckung und Stauchung in - und -Richtung. Animationen zeigen die Wirkung jedes Parameters direkt.

1 Definitionen

Ist der Graph einer Funktion bekannt, so erhält man daraus die Graphen vieler weiterer Funktionen. Dazu verändert man den Funktionsterm mit Parametern: festen reellen Zahlen, hier , , und . Die Funktion heißt Ausgangsfunktion, ihr Graph . Der Graph der neuen Funktion entsteht aus durch Verschieben, Strecken oder Stauchen.

In den Animationen ist die Ausgangsfunktion: gestrichelt ist , durchgezogen . Die markierten Punkte , und zeigen, wohin sich einzelne Punkte des Graphen bewegen (, , ). Mit dem Knopf ▶ starten oder stoppen Sie die Animation, mit den Schiebereglern stellen Sie die Parameter selbst ein.

Definition 1 · Verschiebung in -Richtung

Es sei . Der Graph der Funktion

entsteht aus durch Verschiebung in -Richtung (in Richtung der -Achse) um Einheiten: für nach oben, für nach unten. Jeder Funktionswert ändert sich um . Es gilt (siehe Animation).

xy−5−4−3−2−11234−3−2−112340
Jeder Funktionswert wird um verändert – alle Punkte wandern senkrecht um dieselbe Strecke.
Definition 2 · Verschiebung in -Richtung

Es sei . Der Graph der Funktion

entsteht aus durch Verschiebung in -Richtung (in Richtung der -Achse) um Einheiten: für nach rechts, für nach links. Die Funktion nimmt an der Stelle denselben Wert an wie an der Stelle , denn . Auch die Definitionsmenge wird um verschoben (siehe Animation).

xy−5−4−3−2−11234−3−2−112340
nimmt an der Stelle denselben Wert an wie an der Stelle .
Definition 3 · Streckung und Stauchung in -Richtung

Es sei . Der Graph der Funktion

entsteht aus durch Streckung in -Richtung mit dem Streckfaktor : Jeder Funktionswert wird mit multipliziert. Für wird der Graph gestreckt (von der -Achse weg), für wird er gestaucht (zur -Achse hin). Nullstellen von bleiben Nullstellen von , denn aus folgt (siehe Animation).

xy−5−4−3−2−11234−3−2−112340
Der Punkt liegt auf der -Achse und bleibt fest.
Definition 4 · Streckung und Stauchung in -Richtung

Es sei . Der Graph der Funktion

entsteht aus durch Streckung in -Richtung mit dem Streckfaktor : nimmt jeden Funktionswert von schon an der Stelle an, denn . Für gilt zum Beispiel . Für ist : Der Graph wird gestaucht (zur -Achse hin). Für ist : Der Graph wird gestreckt (von der -Achse weg). Der Schnittpunkt mit der -Achse bleibt erhalten, denn (siehe Animation).

xy−5−4−3−2−11234−3−2−112340
Der Punkt liegt auf der -Achse und bleibt fest. Bei halbieren sich alle -Koordinaten.
Definition 5 · Spiegelung (negative Faktoren)
  • Der Graph von entsteht aus durch Spiegelung an der -Achse: Jeder Funktionswert wechselt das Vorzeichen.
  • Der Graph von entsteht aus durch Spiegelung an der -Achse: nimmt an der Stelle den Wert an.

Ein negativer Faktor bedeutet also Spiegelung an der -Achse und Streckung in -Richtung mit dem Faktor ; ein negativer Faktor bedeutet Spiegelung an der -Achse und Streckung in -Richtung mit dem Faktor .

xy−4−3−2−1123−4−3−2−11230
Hier ist . Die Asymptote bleibt bei beiden Spiegelungen erhalten.
Merke · alle Parameter zusammen
  • Die Parameter außerhalb des Funktionsarguments (, ) wirken in -Richtung – so, wie sie dastehen.
  • Die Parameter innerhalb des Funktionsarguments (, ) wirken in -Richtung – „umgekehrt“: verschiebt um , der Faktor streckt mit .
  • In jeder Richtung gilt: erst strecken, dann verschieben. Abbildungen in -Richtung und in -Richtung beeinflussen sich gegenseitig nicht.
  • Vor dem Ablesen das Argument in die Form bringen: .

Selbst ausprobieren: Parameter-Labor

Wählen Sie eine Ausgangsfunktion und verändern Sie die Parameter. Beobachten Sie, wie sich die markierten Punkte und – bei und – die Asymptoten bewegen.

xy−5−4−3−2−11234−5−4−3−2−112340

2 Typische Ausdrucksweisen und Darstellungen

Formulierungen in Aufgaben und Texten

FormulierungBedeutung
„Der Graph von wird um 3 Einheiten nach rechts verschoben.“
„Der Graph von wird um 2 Einheiten nach unten verschoben.“
„Der Graph wird in -Richtung (in Richtung der -Achse, senkrecht zur -Achse) mit dem Faktor 3 gestreckt.“
„Der Graph wird in -Richtung (in Richtung der -Achse) mit dem Faktor gestaucht.“
„Der Graph wird an der -Achse gespiegelt.“ / „… an der -Achse gespiegelt.“ /
„Der Graph von geht aus dem Graphen von hervor (entsteht aus dem Graphen von ), indem man …“Beschreibung der Abbildungen, die in überführen.
„Beschreiben Sie, wie der Graph von aus dem Graphen von hervorgeht.“Jede Abbildung mit Art, Richtung und Betrag bzw. Faktor nennen – in der richtigen Reihenfolge.
„Geben Sie einen Funktionsterm von an.“ · „Bestimmen Sie den Parameter so, dass …“Term aufstellen bzw. Bedingung (z. B. Punktprobe) aufstellen und nach dem Parameter auflösen.
„die Normalparabel“der Graph von

Übersicht: Parameter und Wirkung

TermAbbildung von Animation
Verschiebung in -Richtung um Def. 1 ▶
Verschiebung in -Richtung um Def. 2 ▶
Streckung in -Richtung mit Faktor Def. 3 ▶
Streckung in -Richtung mit Faktor Def. 4 ▶
Spiegelung an der -AchseDef. 5 ▶
Spiegelung an der -AchseDef. 5 ▶
Sprachliche und fachliche Stolpersteine
  • „nach rechts“ gehört zum Minuszeichen: ist um 3 nach rechts verschoben, um 3 nach links.
  • ist nicht um 6 verschoben: Erst ausklammern, – Stauchung mit dem Faktor , dann Verschiebung um 3 nach rechts (siehe Animation).
  • „Streckung mit dem Faktor “ und „Stauchung mit dem Faktor “ meinen dasselbe. Üblich ist: Faktor größer als 1 → Streckung, Faktor zwischen 0 und 1 → Stauchung.
  • „in -Richtung“ = „in Richtung der -Achse“ = „senkrecht zur -Achse“. Man sagt auch: „von der -Achse aus gestreckt“.
  • Verschoben oder gestreckt wird der Graph; beim Funktionsterm sagt man „ersetzt durch “ oder „multipliziert den Funktionswert mit 3“.
xy−5−4−3−2−11234−3−2−112340
: erst Stauchung in -Richtung mit dem Faktor , dann Verschiebung um 3 (nicht um 6) nach rechts.

3 Beispielaufgabe mit Musterlösung

Aufgabe

Gegeben sind und , jeweils .

  1. Bestimmen Sie , und so, dass gilt.
  2. Beschreiben Sie, wie der Graph von aus der Normalparabel hervorgeht.
  3. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt des Graphen von .

Lösung

a) Allgemeiner Ansatz. Für und den Ansatz gilt nach Ausmultiplizieren:

Umformung durch Koeffizientenvergleich mit :

Einsetzen von , , :

Also . Probe durch quadratische Ergänzung: . ✓

b) Abbildungen. : Streckung in -Richtung mit dem Faktor 2. : Verschiebung um 3 nach rechts. : Verschiebung um 4 nach unten. In -Richtung gilt die Reihenfolge: erst strecken, dann verschieben.

xy−2−112345−5−4−3−2−112340
Schritt für Schritt von der Normalparabel zu

c) Scheitelpunkt. Allgemein: Der Graph von hat den Scheitelpunkt , denn ist nie negativ und nur für gleich null. Die Streckung ändert den Funktionswert im Scheitelpunkt nicht; nur die Verschiebungen bewegen ihn. Einsetzen:

Probe: . ✓

Warum die Reihenfolge wichtig ist

Verschiebt man die Normalparabel zuerst um 4 nach unten und streckt danach mit dem Faktor 2, so erhält man : Der Scheitelpunkt liegt dann bei , nicht bei .

GrößeErgebnis
Parameter, ,
Funktionsterm
AbbildungenStreckung in -Richtung mit Faktor 2; Verschiebung um 3 nach rechts und um 4 nach unten
Scheitelpunkt

4 Übungen

Die Teilaufgaben werden von a) nach f) schwieriger. Tragen Sie Ihre Ergebnisse ein und klicken Sie auf „Eingaben prüfen“. Grün heißt richtig, Gelb: der Wert stimmt, die Form noch nicht, Rot: noch nicht richtig.

Aufgabe 1 Vom Term zur Abbildung

Grundlagen

Beschreiben Sie, wie der Graph von aus dem Graphen von hervorgeht. Die Faktoren sind positiv einzutragen.

  1. : Verschiebung um
  2. : Verschiebung um
  3. : mit dem Faktor
  4. : mit dem Faktor
  5. :
    mit dem Faktor ,
    Verschiebung um
  6. :
    Spiegelung an der ,
    mit dem Faktor ,
    Verschiebung um

Aufgabe 2 Von der Abbildung zum Term

Term

Der Graph von wird wie angegeben verändert. Geben Sie einen Funktionsterm der neuen Funktion an. Potenzen mit ^, Brüche mit /.

  1. , Verschiebung um 4 nach oben:
  2. , Verschiebung um 2 nach rechts:
  3. , zuerst Streckung in -Richtung mit dem Faktor 3, dann Verschiebung um 1 nach unten:
  4. , Stauchung in -Richtung mit dem Faktor :
  5. , Verschiebung um 1 nach links und um 2 nach oben:
  6. , zuerst Verschiebung um 3 nach rechts, danach Stauchung in -Richtung mit dem Faktor :

Aufgabe 3 Parameter am Graphen ablesen

Graph

Gestrichelt ist jeweils der Graph der Ausgangsfunktion gezeichnet, durchgezogen der Graph von . In a) bis c) ist , in d) ist , in e) ist . Bestimmen Sie die Parameter.

  1. xy−4−3−2−1123−3−2−11230S′
  2. xy−4−3−2−1123−3−2−11230S′
  3. xy−4−3−2−1123−3−2−11230S′Q
  4. xy−3−2−112−2−11230HTH′T′
  5. xy−4−3−2−1123−4−3−2−11230R

5 Sachaufgaben und weiterführende Aufgaben

Aufgabe 4 Veränderte Einnahme eines Medikaments

Textaufgabe

Nach der Einnahme einer Tablette um wird die Wirkstoffkonzentration im Blutplasma von Patient A modelliert durch (vgl. Thema 2)

Dabei ist die Zeit in Stunden und die Konzentration in . Die Konzentration ist maximal bei mit . Modellannahme: Die Konzentration ist proportional zur eingenommenen Dosis.

t in hc in mg/L123456789101234560
Konzentration bei Patient A
  1. Patient B nimmt zum selben Zeitpunkt die doppelte Dosis:
  2. Patientin C nimmt dieselbe Dosis 1,5 Stunden später ein ( zählt weiter ab der Einnahme von A): für
  3. Bei C ist die Konzentration maximal zum Zeitpunkt h.
    Die maximale Konzentration von C ist die von A.
  4. Bei Patient D laufen Aufnahme und Abbau doppelt so schnell ab: .
    Der Graph von entsteht durch mit dem Faktor .
    Maximum bei h, maximale Konzentration
  5. Berechnen Sie die maximale Konzentration bei Patient B (auf zwei Nachkommastellen gerundet):

Aufgabe 5 Fieberkurve in anderen Einheiten

Textaufgabe

Die Funktion beschreibt die Körpertemperatur eines Patienten: in C, in Stunden, entspricht 8:00 Uhr.

  1. Ein Gerät zeigt die Temperatur in Grad Fahrenheit an: . Der Graph von entsteht aus dem Graphen von durch

    mit dem Faktor ,
    danach Verschiebung um .
  2. Berechnen Sie: entspricht F.

  3. Die Zeit soll in Minuten angegeben werden (). Dann gilt . Der Graph entsteht durch

    mit dem Faktor .
  4. Ein Thermometer zeigt stets 0,3 C zu wenig an. Angezeigt wird .

  5. Eine Ärztin zählt die Zeit ab 10:00 Uhr. Dann gilt , die Temperatur ist also . Der Graph von entsteht aus dem Graphen von durch

    Verschiebung um .

Aufgabe 6 Wahr oder falsch?

Wahr/Falsch

Entscheiden Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung in Ihren Notizen und vergleichen Sie mit der Lösung.

  1. Der Graph von entsteht aus durch Verschiebung um 4 nach rechts.
  2. Die Funktionen und mit haben dieselben Nullstellen.
  3. Ist , so schneiden die Graphen von und von die -Achse im selben Punkt.
  4. Der Graph von entsteht aus durch Stauchung in -Richtung mit dem Faktor und anschließende Verschiebung um 6 nach rechts.
  5. Für ergibt die Stauchung in -Richtung mit dem Faktor denselben Graphen wie die Streckung in -Richtung mit dem Faktor 4.
  6. Ist achsensymmetrisch zur -Achse, so ist auch der Graph von achsensymmetrisch zur -Achse.

Aufgabe 7 Nehmen Sie Stellung

Stellungnahme

Nehmen Sie Stellung zu den Aussagen. Wählen Sie die zutreffende Beurteilung und formulieren Sie Ihre Stellungnahme in vollständigen Sätzen in Ihren Notizen.

  1. Ali: „Bei liegt der Scheitelpunkt bei , weil die Normalparabel um 3 verschoben wird.“
  2. Mara: „Die Funktionen und haben denselben Graphen.“
  3. Tom: „Bei wird alles dreimal so schnell durchlaufen. Also wird der Graph in -Richtung mit dem Faktor 3 gestreckt.“

Aufgabe 8 Parameter bestimmen

weiterführend

Bestimmen Sie die Parameter so, dass die Bedingung erfüllt ist.

  1. verläuft durch :
  2. hat die Nullstellen und :
  3. verläuft durch :
  4. verläuft durch und :
  5. Der Graph von hat die Asymptoten und :

6 Das Wichtigste auf einen Blick

ParameterWirkung auf fest bleiben
in Verschiebung in -Richtung um (: nach oben)–
in Verschiebung in -Richtung um (: nach rechts)–
in Streckung in -Richtung mit Faktor ; : zusätzlich Spiegelung an der -AchsePunkte auf der -Achse
in Streckung in -Richtung mit Faktor ; : zusätzlich Spiegelung an der -AchsePunkte auf der -Achse
Vorgehen
  1. Beschreiben: Term in die Form bringen (ausklammern, quadratisch ergänzen), dann jede Abbildung mit Art, Richtung und Betrag bzw. Faktor angeben.
  2. Term aufstellen: Abbildungen in der gegebenen Reihenfolge ausführen: in -Richtung am Funktionswert, in -Richtung durch Ersetzen von .
  3. Kontrolle: Prüfen, ob ein markanter Punkt (Scheitelpunkt, Schnittpunkt mit einer Achse) an der richtigen Stelle liegt – Punktprobe mit .
  4. Parameter bestimmen: Punktprobe oder Asymptoten nutzen und nach dem Parameter auflösen.
Typische Fehler
  • als Verschiebung nach links deuten.
  • Bei mit dem Faktor statt strecken.
  • Bei um 6 statt um 3 verschieben – erst ausklammern.
  • Die Reihenfolge vertauschen: ist nicht .
  • Parameter in -Richtung und in -Richtung verwechseln: Was im Argument von steht, wirkt in -Richtung.

Fachwortschatz

Ausgangsfunktion · Parameter · verschieben / Verschiebung · in -Richtung · in -Richtung · strecken / Streckung · stauchen / Stauchung · Streckfaktor · Spiegelung an der -Achse · Spiegelung an der -Achse · hervorgehen aus · Normalparabel

Ausblick: Dieselben Parameter begegnen Ihnen bei den trigonometrischen Funktionen wieder: ist dort die Amplitude, die Periode.