Aufgabensatz 1

Thema: Ganzrationale Funktionen

Bestimmen Sie die gesuchten Größen. Multiplizieren Sie dazu, falls nötig, aus – oft genügt es, nur die höchste Potenz und das Absolutglied zu berechnen.

1. Grad: ,  Absolutglied:
2. in der Form :
   ,   ,  
3. Grad: ,  Absolutglied:
4. Grad:
   Schnittpunkt mit der -Achse:
5. Welche Funktion ist keine ganzrationale Funktion?
   – wählen –f(x) = √2 · x³ − xg(x) = 3/x + x²h(x) = (x − 1)⁴k(x) = 5
6. Der Graph von verläuft durch und .
   ,  

Thema: Nullstellen von Funktionen

Berechnen Sie alle Nullstellen von . Tragen Sie sie der Größe nach ein: .

1. ,  
2. ,  
3. ,  
4. ,  
5. ,   ,  
6. Anzahl der Nullstellen: ,  Nullstelle:

Thema: Verhalten im Unendlichen

Untersuchen Sie das Verhalten von für und . Geben Sie bei gebrochen-rationalen Funktionen die Gleichung der waagerechten Asymptote an.

1. Für gilt – wählen –+∞−∞,
   für gilt – wählen –+∞−∞.
2. Für gilt – wählen –+∞−∞,
   für gilt – wählen –+∞−∞.
3. Für gilt – wählen –+∞−∞,
   für gilt – wählen –+∞−∞.
4. Waagerechte Asymptote:
5. Waagerechte Asymptote:
6. hat die waagerechte Asymptote .
   hat – wählen –die waagerechte Asymptote y = 1die waagerechte Asymptote y = 0keine waagerechte Asymptote.

Thema: Symmetrie

Untersuchen Sie den Graphen von auf Symmetrie zur -Achse und zum Ursprung. Formen Sie den Term, falls nötig, zuerst um.

1.  →  – wählen –achsensymmetrisch zur y-Achsepunktsymmetrisch zum Ursprungkeine dieser beiden Symmetrien
2.  →  – wählen –achsensymmetrisch zur y-Achsepunktsymmetrisch zum Ursprungkeine dieser beiden Symmetrien
3.  →  – wählen –achsensymmetrisch zur y-Achsepunktsymmetrisch zum Ursprungkeine dieser beiden Symmetrien
4.  →  – wählen –achsensymmetrisch zur y-Achsepunktsymmetrisch zum Ursprungkeine dieser beiden Symmetrien
5.  →  – wählen –achsensymmetrisch zur y-Achsepunktsymmetrisch zum Ursprungkeine dieser beiden Symmetrien
6.  →  – wählen –achsensymmetrisch zur y-Achsepunktsymmetrisch zum Ursprungkeine dieser beiden Symmetrien

Thema: Monotonie

Geben Sie das Monotonieverhalten von an. Nutzen Sie bei quadratischen Funktionen die Scheitelpunktform.

1. ist auf – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton.
2. ist auf – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton.
3. ist für – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton
   und für – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton.
4. ist für – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton
   und für – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton.
5. ist
   auf – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton,
   auf – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton.
6. ist für streng monoton fallend und für streng monoton steigend.

Thema: Verschieben, Strecken und Stauchen

Beschreiben Sie, wie der Graph von aus dem Graphen von hervorgeht, bzw. bestimmen Sie den gesuchten Term oder Parameter. Die Faktoren sind positiv einzutragen.

1. , : Verschiebung um – wählen –nach obennach untennach linksnach rechts
2. , : – wählen –StreckungStauchung – wählen –in x-Richtungin y-Richtung mit dem Faktor
3. ,
   Scheitelpunkt von :
4. Der Graph von wird um 2 nach rechts und um 1 nach unten verschoben.
   xⁿ( )a/b
5. , :
   – wählen –StreckungStauchung – wählen –in x-Richtungin y-Richtung mit dem Faktor
   größere Nullstelle von :
6. Der Graph von entsteht aus dem Graphen von und verläuft durch und .
   ,  

Themen: Ganzrationale Funktionen · Symmetrie · Nullstellen von Funktionen · Verhalten im Unendlichen · Verschieben, Strecken und Stauchen

Gegeben ist die Funktion mit , .

1. Geben Sie den Grad und den Schnittpunkt des Graphen mit der -Achse an.
   Grad: ,  
2. Untersuchen Sie den Graphen von auf Symmetrie.
   Symmetrie des Graphen: – wählen –achsensymmetrisch zur y-Achsepunktsymmetrisch zum Ursprungkeine dieser beiden Symmetrien
3. Berechnen Sie die Nullstellen von ().
   ,   ,  
4. Untersuchen Sie das Verhalten von im Unendlichen.
   Für gilt – wählen –+∞−∞,
   für gilt – wählen –+∞−∞.
5. Der Graph von geht aus dem Graphen von hervor durch
   Verschiebung um – wählen –nach obennach untennach linksnach rechts und um – wählen –nach obennach untennach linksnach rechts.
   Symmetrie des Graphen von : – wählen –achsensymmetrisch zur y-Achsepunktsymmetrisch zum Ursprungkeine dieser beiden Symmetrien
6. Für gilt: – wählen –StreckungStauchung – wählen –in x-Richtungin y-Richtung mit dem Faktor .
   Größte Nullstelle von :

Themen: Gebrochen-rationale Funktionen · Nullstellen von Funktionen · Verhalten im Unendlichen · Symmetrie · Verschieben, Strecken und Stauchen

Gegeben ist die Funktion mit und maximaler Definitionsmenge.

1. Bestimmen Sie die Definitionsmenge: mit .
   ,  
2. Untersuchen Sie die Definitionslücken auf ihre Art.
   : – wählen –hebbare DefinitionslückePolstelle mit VorzeichenwechselPolstelle ohne Vorzeichenwechsel,  : – wählen –hebbare DefinitionslückePolstelle mit VorzeichenwechselPolstelle ohne Vorzeichenwechsel
   Der Graph hat ein Loch in .
3. Bestimmen Sie die Nullstellen von .
   Anzahl: ,  Nullstelle:
4. Geben Sie die waagerechte Asymptote an:
5. Untersuchen Sie den Graphen von auf Symmetrie.
   Symmetrie des Graphen: – wählen –achsensymmetrisch zur y-Achsepunktsymmetrisch zum Ursprungkeine dieser beiden Symmetrien
6. Der Graph von entsteht durch Verschiebung des Graphen von .
   Polstelle von : ,  hebbare Lücke von :

Themen: Gebrochen-rationale Funktionen · Nullstellen von Funktionen · Verhalten im Unendlichen · Monotonie · Verschieben, Strecken und Stauchen

Nach der Einnahme einer Tablette wird die Konzentration eines Wirkstoffs im Blutplasma modelliert durch

Dabei ist die Zeit in Stunden nach der Einnahme und die Konzentration in .

1. Der Funktionsterm hat Definitionslücken.
2. Berechnen Sie, wann die Konzentration beträgt ().
   h,   h
3. Für gilt .
   Im Sachzusammenhang bedeutet das: – wählen –Langfristig wird der Wirkstoff vollständig abgebaut.Die Konzentration wächst über alle Grenzen.Die Konzentration nähert sich 20 mg/L.
4. Berechnen Sie:
   Mit Teilaufgabe b) folgt: ist auf – wählen –streng monoton steigendstreng monoton fallendkonstantnicht monoton.
5. Patient B nimmt dieselbe Tablette eine Stunde später ein: .
   Der Graph wird um – wählen –nach obennach untennach linksnach rechts verschoben.
   Bei Patient B beträgt die Konzentration zum ersten Mal nach h.
6. Patientin C nimmt die doppelte Dosis ein: .
   – wählen –StreckungStauchung – wählen –in x-Richtungin y-Richtung mit dem Faktor ,