Sie lernen, Integrale der Form zu berechnen: durch Einführen einer neuen Variablen – bei bestimmten Integralen mit Umrechnung der Grenzen. Die Regel ist die Umkehrung der Kettenregel.
1 Definitionen
Viele Integranden sind ein Produkt aus einer verketteten Funktion und der Ableitung ihrer inneren Funktion. Solche Integrale berechnet man mit der Substitutionsregel.
Die Funktion sei stetig mit einer Stammfunktion , die Funktion sei differenzierbar mit stetiger Ableitung . Dann gilt
Dabei heißt die innere Funktion, die äußere Funktion und die innere Ableitung.
Begründung mit der Kettenregel: . Also ist eine Stammfunktion des Integranden.
Definition 2 · Das Verfahren: Substitution mit und
Man ersetzt (substituiert) die innere Funktion durch eine neue Integrationsvariable :
Damit wird aus dem Integral nach ein Integral nach :
Am Ende wird wieder eingesetzt. Das heißt Rücksubstitution.
Definition 3 · Substitutionsregel für bestimmte Integrale
Unter denselben Voraussetzungen gilt
Die Integrationsgrenzen werden mitsubstituiert: Aus der unteren Grenze wird , aus der oberen Grenze wird . Eine Rücksubstitution ist dann nicht nötig.
Einordnung: Die lineare Substitution aus Thema 2 ist der Sonderfall mit , :
Merke
Die Substitutionsregel ist die Umkehrung der Kettenregel.
Man erkennt sie am Integranden: Eine verkettete Funktion wird mit der Ableitung ihrer inneren Funktion multipliziert.
Ein konstanter Faktor darf fehlen oder zu viel sein: Er wird vor das Integral gezogen. Beispiel: .
Nach dem Substituieren darf kein mehr im Integral stehen. Bleibt ein übrig, passt die Substitution nicht.
Ergebnis immer durch Ableiten kontrollieren (Probe).
2 Typische Ausdrucksweisen und Darstellungen
Formulierungen in Aufgaben und Texten
Formulierung
Bedeutung
„Berechnen Sie das Integral mithilfe einer geeigneten Substitution.“
Innere Funktion selbst wählen, setzen und das Verfahren durchführen.
„Substituieren Sie .“
Die innere Funktion ist vorgegeben: durch ersetzen, durch ausdrücken.
„Bestimmen Sie eine Stammfunktion von .“ „Bestimmen Sie das unbestimmte Integral.“
Ergebnis ist eine Funktion; beim unbestimmten Integral mit .
„Führen Sie die Rücksubstitution durch.“
Im Ergebnis wieder durch ersetzen.
„Rechnen Sie die Integrationsgrenzen um.“
Neue Grenzen und für die Variable berechnen.
„Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Ableiten.“
Die Ableitung der Stammfunktion muss wieder den Integranden ergeben.
Schreibweisen
Schreibweise
Gelesen / Bedeutung
„d u nach d x gleich g Strich von x“: Ableitung von nach
bzw.
Umrechnung von in (Rechentechnik mit Differentialen)
Die Grenzen gehören immer zur Integrationsvariablen: links -Werte, rechts -Werte.
bedeutet ; im Eingabefeld: sin(x)^3
Typische Integranden
Integrand
Substitution
Stammfunktion
,
Sprachliche Stolpersteine
substituieren heißt „ersetzen“; die Substitution ist die Ersetzung selbst, z. B. „die Substitution “.
Der Integrand ist der Term zwischen und , nicht das ganze Integral.
„innere Ableitung“ meint , nicht die Ableitung der äußeren Funktion.
gehört zum Integral und darf nie wegfallen. Nach der Substitution steht dort .
3 Beispielaufgabe mit Musterlösung
Aufgabe
Gegeben ist .
Bestimmen Sie mithilfe einer Substitution eine Stammfunktion von .
Berechnen Sie . Rechnen Sie dabei die Integrationsgrenzen um.
Lösung zu a)
1. Allgemeiner Ansatz. Gesucht ist ein Integral der Form . Die innere Funktion ist die Klammer, ihre Ableitung steht (bis auf einen Faktor) als davor:
2. Substituieren und umformen. Alle müssen verschwinden:
3. Integrieren und rücksubstituieren:
4. Probe (Kettenregel): . ✓
Lösung zu b)
1. Allgemein: mit .
2. Grenzen umrechnen: untere Grenze , obere Grenze .
3. Einsetzen und berechnen:
Kontrolle mit der Stammfunktion aus a): . ✓
Schritt
Ergebnis
Substitution
,
Integral nach
Stammfunktion
neue Grenzen
von bis
bestimmtes Integral
4 Übungen
Die Teilaufgaben werden von a) nach f) schwieriger. Tragen Sie Ihre Ergebnisse ein und klicken Sie auf „Eingaben prüfen“. Grün heißt richtig, Gelb: der Wert stimmt, die Form noch nicht, Rot: noch nicht richtig.
So geben Sie Terme ein
Sobald Sie in ein Feld tippen, erscheinen darunter Knöpfe für Potenzen, Klammern, Brüche, , , , und .
Potenzen mit ^, Brüche mit /, Klammern nicht vergessen: als e^(x^2), als (x^3+1)^(3/2).
Funktionen immer mit Klammer: ln(x), sin(x), cos(x^2); als sin(x)^3. Die Knöpfe unter dem Feld fügen das für Sie ein; markierter Text kommt in die Klammer.
Bei Stammfunktionen lassen Sie weg – jede richtige Stammfunktion wird akzeptiert.
Exakte Werte mit e und pi (π), z. B. (e-1)/2.
Aufgabe 1 Substitution erkennen
Grundlagen
Bestimmen Sie die innere Funktion und ihre Ableitung. Schreiben Sie das Integral anschließend als Integral nach in der Form .
Integral
Integral
Integral
Integral
()
Integral
(Wählen Sie für den ganzen Exponenten.)
Integral
, . Der Faktor steht vollständig im Integranden: , also .
, : , .
, : , .
, , also : , .
, : , .
, , also : , . Das negative Vorzeichen der inneren Ableitung führt zum negativen Faktor.
Aufgabe 2 Stammfunktionen bestimmen
Unbestimmtes Integral
Bestimmen Sie mithilfe einer geeigneten Substitution eine Stammfunktion. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Ableiten.
()
, : .
, : .
, , also : .
, , also : .
, : .
, , also : . Probe: . ✓
Aufgabe 3 Bestimmte Integrale mit Umrechnung der Grenzen
Bestimmtes Integral
Berechnen Sie die Integrale mithilfe einer Substitution. Geben Sie die neuen Grenzen für und den exakten Wert an.
mit
von bis , Wert:
mit
von bis , Wert:
mit
von bis , Wert:
von bis , Wert:
von bis , Wert:
von bis , Wert:
; Grenzen , : .
, also ; Grenzen und : .
; Grenzen , : .
, ; Grenzen und : .
, ; Grenzen , : .
, ; Grenzen , : .
5 Sachaufgaben und weiterführende Aufgaben
Aufgabe 4 Wirkstoffpflaster
Textaufgabe
Ein Wirkstoffpflaster gibt einen Wirkstoff an die Haut ab. Die Freisetzungsrate wird modelliert durch
Dabei ist die Zeit seit dem Aufkleben in Stunden und die Freisetzungsrate in . Die bis zum Zeitpunkt freigesetzte Wirkstoffmenge ist der Bestand mit .
Freisetzungsrate; die Fläche entspricht der in den ersten 2 Stunden freigesetzten Menge.
Bestimmen Sie eine Stammfunktion:
Berechnen Sie die in den ersten 2 Stunden freigesetzte Menge.
exakt: mg, gerundet: mg
Zwischen und werden etwa mg freigesetzt (auf zwei Nachkommastellen).
Insgesamt kann das Pflaster höchstens mg abgeben.
Bestimmen Sie die Bestandsfunktion:
Substitution , , also : .
Allgemein: . Einsetzen: mg.
mg.
Für große geht gegen , also . Mehr als mg werden nie freigesetzt.
. Kontrolle: und .
Aufgabe 5 Krankheitsausbruch in einem Pflegeheim
Textaufgabe
Bei einem Krankheitsausbruch wird die Rate der Neuerkrankungen modelliert durch
Dabei ist die Zeit in Tagen seit Beginn der Beobachtung und die Anzahl der Neuerkrankungen pro Tag.
Rate der Neuerkrankungen; die Fläche entspricht den Neuerkrankungen in den ersten 6 Tagen.
Bestimmen Sie eine Stammfunktion:
In den ersten 6 Tagen erkranken Personen neu.
Zwischen und erkranken Personen neu.
Wenn sich das Modell nicht ändert, erkranken insgesamt höchstens Personen neu.
Zu Beginn sind bereits 5 Personen erkrankt. Die Gesamtzahl der bis zum Zeitpunkt Erkrankten ist
Ab dem Zeitpunkt sind seit Beobachtungsbeginn mehr als 80 Personen neu erkrankt.
, , also : .
.
.
Neuerkrankungen bis zum Zeitpunkt : . Für große geht der Bruch gegen , die Anzahl also gegen .
.
Ansatz: . Mit : . Ab dem 4. Tag sind es mehr als 80 Neuerkrankungen.
Aufgabe 6 Wahr oder falsch?
Wahr/Falsch
Entscheiden Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung in Ihren Notizen und vergleichen Sie mit der Lösung.
Das Integral lässt sich mit der Substitution berechnen.
Das Integral lässt sich mit der Substitution berechnen.
Mit gilt: .
Die Regel ist ein Sonderfall der Substitutionsregel.
Rechnet man bei einem bestimmten Integral die Grenzen um, ist keine Rücksubstitution nötig.
wahr. , also . Es bleibt .
falsch. Aus folgt . Im Integral bleibt ein übrig – die innere Ableitung fehlt im Integranden. (Dieses Integral hat überhaupt keine Stammfunktion, die man mit den üblichen Funktionen aufschreiben kann.)
falsch. Die Grenzen wurden nicht umgerechnet: , . Richtig ist ; die Aussage liefert dagegen .
wahr. Mit ist , also .
wahr. Nach dem Umrechnen gehören die Grenzen zu ; man setzt sie direkt in ein.
falsch. Probe durch Ableiten: . Richtig: . Die innere Ableitung „verschwindet“ beim Substituieren, sie wird nicht mitintegriert.
Aufgabe 7 Nehmen Sie Stellung
Stellungnahme
Nehmen Sie Stellung zu den Rechnungen. Wählen Sie die zutreffende Beurteilung und formulieren Sie Ihre Stellungnahme in vollständigen Sätzen in Ihren Notizen.
Mia: „Mit und erhalte ich .“
Tom: „Ich integriere einfach die Klammer: .“
Lea: „Für erhalte ich mit das Ergebnis , mit aber . Eines der beiden Ergebnisse muss falsch sein.“
Mögliche Stellungnahme: Die Substitution und der Faktor sind richtig, aber Mia hat die Grenzen nicht umgerechnet. Zu gehört , zu gehört . Richtig ist . Mias Ergebnis ist viel zu klein.
Mögliche Stellungnahme: Das Ergebnis ist falsch. Die Probe zeigt es: – das ist das Dreifache des Integranden. Mit gilt , richtig ist also .
Mögliche Stellungnahme: Lea hat nicht recht. Stammfunktionen sind nur bis auf eine additive Konstante bestimmt. Wegen gilt . Die beiden Ergebnisse unterscheiden sich also nur um die Konstante ; beide sind richtig. Das bestätigt auch die Probe: Beide haben die Ableitung .
Aufgabe 8 Fläche und Symmetrie
weiterführend
Gegeben ist die Funktion , .
Graph von mit den Flächen über und
Bestimmen Sie eine Stammfunktion:
Der Graph von ist .
Daher gilt .
Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen und der -Achse über beträgt .
Wird die obere Grenze immer größer, so nähert sich dem Wert .
, , also : .
.
: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die orientierten Flächen über (unterhalb der -Achse, negativ) und über (positiv) sind gleich groß und heben sich auf: .
Flächeninhalt .
. Für große geht gegen , der Wert also gegen .
6 Das Wichtigste auf einen Blick
Integral
Substitutionsregel
unbestimmt
bestimmt
Sonderfall linear
Vorgehen
Innere Funktion erkennen, deren Ableitung (bis auf einen Faktor) im Integranden steht.
setzen, bilden und nach umstellen.
Einsetzen und kürzen: Im Integral darf nur noch stehen. Konstante Faktoren vor das Integral ziehen.
Nach integrieren.
Unbestimmtes Integral: rücksubstituieren. Bestimmtes Integral: Grenzen umrechnen und einsetzen.
Probe durch Ableiten (Kettenregel).
Typische Fehler
Grenzen nicht umgerechnet – oder umgerechnet und zusätzlich rücksubstituiert.
Den Faktor aus der inneren Ableitung vergessen: , richtig ist .
Substituieren, obwohl die innere Ableitung fehlt: Bei bleibt ein übrig.