Lernpfad Mathematik Studienkolleg · M-Kurs
2. Semester · Integralrechnung · Thema 6

Partielle Integration

Sie lernen, Produkte wie , oder zu integrieren. Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel.

1 Definitionen

Für Produkte gibt es keine einfache Integrationsregel: Im Allgemeinen ist . Ist aber einer der beiden Faktoren als Ableitung einer bekannten Funktion geschrieben, hilft die partielle Integration.

Definition 1 · Partielle Integration (unbestimmtes Integral)

Die Funktionen und seien differenzierbar mit stetigen Ableitungen und . Dann gilt

Das Integral auf der rechten Seite heißt Restintegral. Die Regel heißt auch Produktintegration.

Begründung mit der Produktregel: . Also ist . Integrieren beider Seiten liefert die Regel, denn ist eine Stammfunktion von .

Definition 2 · Partielle Integration (bestimmtes Integral)

Unter denselben Voraussetzungen gilt

Dabei ist .

Merke
  • Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel.
  • „Partiell“ heißt „teilweise“: Nur der Faktor wird integriert, der Faktor wird abgeleitet.
  • Wahl von und : soll beim Ableiten einfacher werden, muss man integrieren können. Ziel: Das Restintegral ist einfacher als das Ausgangsintegral.
  • Faustregel: Ein Polynom wird abgeleitet (), , , werden integriert (). Bei ist es umgekehrt: .
  • Manchmal muss man mehrfach partiell integrieren, z. B. bei .
  • Trick bei : als Produkt schreiben, , .
  • Ergebnis immer durch Ableiten kontrollieren (Probe mit der Produktregel).

Zum Einprägen mit Musik: „Partielle Integration (Mathe-Song)“ von DorFuchs (Video auf YouTube, nur mit Internetverbindung).

2 Typische Ausdrucksweisen und Darstellungen

Formulierungen in Aufgaben und Texten

FormulierungBedeutung
„Berechnen Sie das Integral mithilfe partieller Integration.“
„Integrieren Sie partiell.“		Integrand als Produkt auffassen und die Regel anwenden.
„Wählen Sie und geeignet.“So entscheiden, dass das Restintegral einfacher wird.
„Integrieren Sie zweimal partiell.“Auf das Restintegral noch einmal die partielle Integration anwenden.
„Zeigen Sie, dass eine Stammfunktion von ist.“Nachweis durch Ableiten: . Integrieren ist dafür nicht nötig.
„Berechnen Sie die Fläche unter der Konzentrations-Zeit-Kurve (AUC).“Bestimmtes Integral der Konzentration über die Zeit (AUC, engl. area under the curve).

Typische Integranden

IntegrandBemerkung
einmal partiell
,  , einmal partiell
zweimal partiell
wird abgeleitet
Faktor ergänzen

Übersichtliches Aufschreiben

Notieren Sie die vier Funktionen vor dem Einsetzen, zum Beispiel für :
Sprachliche Stolpersteine
  • Hier sind und Funktionen von – nicht die neue Variable aus der Substitution.
  • „partiell“ (teilweise) hat nichts mit „Partialbruch“ zu tun.
  • Vor dem Restintegral steht ein Minuszeichen; setzen Sie das Restintegral in Klammern, wenn es mehrere Summanden hat.
  • „Stammfunktion bilden“ und „ableiten“ nicht verwechseln: entsteht durch Integrieren von , durch Ableiten von .

3 Beispielaufgabe mit Musterlösung

Aufgabe
  1. Bestimmen Sie mithilfe partieller Integration eine Stammfunktion von .
  2. Berechnen Sie .

Lösung zu a)

1. Allgemeiner Ansatz: . Der lineare Faktor wird beim Ableiten einfacher, lässt sich integrieren:

2. Einsetzen und umformen:

3. Probe (Produktregel): . ✓

Lösung zu b)

1. Allgemeiner Ansatz: . Hier wird abgeleitet:

2. Einsetzen und umformen:

3. Grenzen einsetzen (mit , ):

Schritta)b)
Wahl, ,
Restintegral
Ergebnis

4 Übungen

Die Teilaufgaben werden von a) nach f) schwieriger. Tragen Sie Ihre Ergebnisse ein und klicken Sie auf „Eingaben prüfen“. Grün heißt richtig, Gelb: der Wert stimmt, die Form noch nicht, Rot: noch nicht richtig.

So geben Sie Terme ein
  • Sobald Sie in ein Feld tippen, erscheinen darunter Knöpfe für Potenzen, Klammern, Brüche, , , , und .
  • Potenzen mit ^, Brüche mit /: als e^(-x), als x^3/3*ln(x).
  • Funktionen immer mit Klammer: ln(x), sin(x), cos(x). Die Knöpfe unter dem Feld fügen das für Sie ein; markierter Text kommt in die Klammer.
  • Bei Stammfunktionen lassen Sie weg – jede richtige Stammfunktion wird akzeptiert.
  • Exakte Werte mit e und pi (π), z. B. pi/2-1.

Aufgabe 1 und wählen

Grundlagen

Wählen Sie für die partielle Integration den Faktor geeignet; der andere Faktor ist . Bestimmen Sie dann und eine Stammfunktion von .

  1. :  
  2. :  
  3. :  
  4. :  
  5. :  
  6. :  

Aufgabe 2 Stammfunktionen bestimmen

Unbestimmtes Integral

Bestimmen Sie mithilfe partieller Integration eine Stammfunktion. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Ableiten.

  4.   ()
  5.   ()

Aufgabe 3 Bestimmte Integrale

Bestimmtes Integral

Berechnen Sie die Integrale mithilfe partieller Integration. Geben Sie exakte Werte an.

5 Sachaufgaben und weiterführende Aufgaben

Aufgabe 4 Fläche unter der Konzentrations-Zeit-Kurve (AUC)

Textaufgabe

Nach der Einnahme einer Tablette wird die Wirkstoffkonzentration im Blutplasma modelliert durch

( in Stunden, in ). In der Pharmakologie ist die Fläche unter der Kurve (in ) ein Maß dafür, wie viel Wirkstoff den Körper insgesamt erreicht. Die mittlere Konzentration im Zeitraum ist .

t in hc in mg/L123456789101234560
Konzentrations-Zeit-Kurve; die Fläche ist die AUC für die ersten 12 Stunden.
  1. Bestimmen Sie eine Stammfunktion:
  2. AUC für die ersten 12 Stunden, exakt:
    gerundet auf zwei Nachkommastellen:
  3. Lässt man die obere Grenze immer größer werden, nähert sich die AUC dem Wert .
  4. Die mittlere Konzentration in den ersten 12 Stunden beträgt etwa .
  5. Die AUC der ersten 12 Stunden macht etwa % der gesamten AUC aus (eine Nachkommastelle).

Aufgabe 5 Ausscheidung über die Niere

Textaufgabe

Nach einer Injektion wird ein Kontrastmittel über die Niere ausgeschieden. Die Ausscheidungsrate wird modelliert durch

( in Stunden, in ). ist die bis zum Zeitpunkt ausgeschiedene Menge mit .

t in hr in mg/h12345672460
Ausscheidungsrate; die Fläche entspricht der Menge, die in den ersten 3 Stunden ausgeschieden wird.
  1. Bestimmen Sie mit der Ableitung: Die Ausscheidungsrate ist maximal für h.
  2. Bestimmen Sie eine Stammfunktion:
  3. In den ersten 3 Stunden ausgeschiedene Menge, exakt: mg
    gerundet auf zwei Nachkommastellen: mg
  4. Insgesamt werden mg ausgeschieden.
  5. Bestimmen Sie die Bestandsfunktion:

Aufgabe 6 Wahr oder falsch?

Wahr/Falsch

Entscheiden Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung in Ihren Notizen und vergleichen Sie mit der Lösung.

  2. Für alle stetigen Funktionen gilt .
  3. Wählt man bei den Faktor , muss man zweimal partiell integrieren.
  4. Bei ist die Wahl und günstig.
  5. Die partielle Integration folgt aus der Produktregel der Differentialrechnung.
  6. lässt sich nicht partiell integrieren, weil der Integrand kein Produkt ist.

Aufgabe 7 Nehmen Sie Stellung

Stellungnahme

Nehmen Sie Stellung zu den Rechnungen und Aussagen. Wählen Sie die zutreffende Beurteilung und formulieren Sie Ihre Stellungnahme in vollständigen Sätzen in Ihren Notizen.

  1. Ben: „.“
  2. Ayşe: „Bei wähle ich und . Dann ist .“
  3. Karim: „Dass eine Stammfunktion von ist, kann ich auch ohne partielle Integration zeigen.“

Aufgabe 8 Eine Formel für

weiterführend

Für liefert partielle Integration mit und die Formel

Damit lässt sich das Integral Schritt für Schritt auf einfachere Integrale zurückführen.

  1. Begründen Sie die Formel: Mit ist .
  2. :  
  3. :  
  4. :  
  6. Für muss man ohne Formel -mal partiell integrieren.

6 Das Wichtigste auf einen Blick

IntegralPartielle Integration
unbestimmt
bestimmt
Vorgehen
  1. Integrand als Produkt schreiben (notfalls mit dem Faktor ).
  2. so wählen, dass einfacher ist; muss integrierbar sein. Polynome ableiten, , , integrieren; ableiten.
  3. und bestimmen und übersichtlich notieren.
  4. In die Regel einsetzen und das Restintegral berechnen, wenn nötig erneut partiell.
  5. Probe durch Ableiten (Produktregel).
Typische Fehler
  • Das Integral eines Produkts als Produkt der Integrale berechnen.
  • Minuszeichen vor dem Restintegral vergessen oder beim Auflösen der Klammer falsch verteilen.
  • und ungünstig wählen, sodass das Restintegral schwieriger wird.
  • Vorzeichen bei falsch.
  • Beim bestimmten Integral den Term nicht an beiden Grenzen auswerten.

Fachwortschatz

partielle Integration · Produktintegration · Restintegral · Wahl von und · mehrfach partiell integrieren · Produktregel · Probe · AUC (Fläche unter der Kurve)

Zum Wiederholen: „Partielle Integration (Mathe-Song)“ von DorFuchs (YouTube).