Lernpfad Mathematik Studienkolleg · M-Kurs
1. Semester · Thema 4

Gebrochen-rationale Funktionen

Sie lernen, was eine gebrochen-rationale Funktion ist, wie man ihre Definitionsmenge bestimmt und wie man Definitionslücken untersucht: hebbare Definitionslücken und Polstellen mit oder ohne Vorzeichenwechsel.

1 Definitionen

Definition 1 · Gebrochen-rationale Funktion

Eine Funktion mit

wobei und ganzrationale Funktionen sind und mindestens den Grad 1 hat, heißt gebrochen-rationale Funktion. Man nennt das Zählerpolynom und das Nennerpolynom; ihre Grade heißen Zählergrad und Nennergrad.

Beispiele: , , . Dagegen ist ganzrational, weil der Nenner konstant ist.

Definition 2 · Definitionsmenge und Definitionslücke

Durch null darf man nicht teilen. Die maximale Definitionsmenge von ist

Eine Nullstelle des Nennerpolynoms heißt Definitionslücke von .

An einer Definitionslücke gibt es keinen Funktionswert. Man untersucht deshalb, welche Werte annimmt, wenn sich der Stelle nähert (von links: , von rechts: ). Dabei gibt es zwei Möglichkeiten.

Definition 3 · Hebbare Definitionslücke

Eine Definitionslücke von heißt hebbar, wenn sich die Funktionswerte bei Annäherung von an (von links und von rechts) beliebig nahe einer reellen Zahl nähern. Man schreibt

Setzt man , so ist die Lücke „behoben“: Man sagt, wird an der Stelle stetig ergänzt.

Definition 4 · Polstelle

Eine Definitionslücke von heißt Polstelle (kurz: Pol), wenn die Beträge bei Annäherung von an über alle Grenzen wachsen:

Hat links und rechts von (in der Nähe von ) verschiedene Vorzeichen, so ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, sonst eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Am Graphen sieht man den Unterschied sofort: Bei einer Polstelle schmiegt sich der Graph an die senkrechte Asymptote an (gestrichelt). Bei einer hebbaren Definitionslücke hat der Graph nur ein „Loch“ im Punkt .

xy−2−1123−3−2−112340Gf
: Polstelle mit Vorzeichenwechsel
xy−2−1123−3−2−112340Gf
: Polstelle ohne Vorzeichenwechsel
xy−2−1123−3−2−112340GfL(1 | 2)
: hebbare Lücke, Loch in

Wann ist eine Definitionslücke eine Polstelle?

Um die Art einer Definitionslücke zu bestimmen, braucht man die Vielfachheit von Nullstellen: ist eine -fache Nullstelle eines Polynoms , wenn mit gilt. Der Faktor heißt Linearfaktor. Beispiel: hat die doppelte Nullstelle und die einfache Nullstelle .

Satz · Polstellenkriterien

Es sei eine -fache Nullstelle des Nenners () und eine -fache Nullstelle des Zählers . Dabei ist , wenn ist.

  1. Kriterium 1 (häufigster Fall): Ist und , so ist eine Polstelle.
  2. Kriterium 2 (allgemein): Ist , so ist eine hebbare Definitionslücke. Ist , so ist eine Polstelle der Ordnung .
  3. Kriterium 3 (Vorzeichenwechsel): Eine Polstelle ungerader Ordnung () ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, eine Polstelle gerader Ordnung () eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Jede Definitionslücke einer gebrochen-rationalen Funktion ist also entweder hebbar oder eine Polstelle.

Begründung. Man kürzt den gemeinsamen Faktor so oft wie möglich. Für bleibt

mit und . In der Nähe von haben und ein festes Vorzeichen, der Faktor wird beliebig klein – also wird beliebig groß. Eine ungerade Potenz von wechselt bei ihr Vorzeichen, eine gerade Potenz ist auf beiden Seiten positiv. Für verschwindet der Faktor ganz aus dem Nenner; der gekürzte Term hat bei einen Wert .

Merke
  • Die Definitionsmenge wird immer am ungekürzten Term bestimmt. Kürzen ändert nicht: gilt nur für .
  • Sind Zähler und Nenner bei null, ist die Lücke nicht automatisch hebbar: erst kürzen, dann prüfen, ob noch Nullstelle des Nenners ist.
  • Ist nach dem Kürzen keine Nullstelle des Nenners mehr: hebbar, Loch in , wobei der gekürzte Term ist.
  • Ist nach dem Kürzen noch -fache Nullstelle des Nenners: Polstelle der Ordnung ; ungerade → mit Vorzeichenwechsel, gerade → ohne.
  • Eine Definitionslücke ist nie eine Nullstelle von .

2 Typische Ausdrucksweisen und Darstellungen

Formulierungen in Aufgaben und Texten

FormulierungBedeutung
„Bestimmen Sie die (maximale) Definitionsmenge von .“Nullstellen des Nenners berechnen und ausschließen:
„ ist an der Stelle nicht definiert.“ · „ hat bei eine Definitionslücke.“, also
„Untersuchen Sie die Definitionslücken auf ihre Art.“ · „Klassifizieren Sie die Definitionslücken.“Für jede Lücke entscheiden und begründen: hebbar, Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel
„Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Linearfaktoren.“als Produkt von Faktoren schreiben (Ausklammern, binomische Formeln, --Formel)
„ ist eine doppelte (zweifache) Nullstelle des Nenners.“ mit
„Kürzen Sie den Funktionsterm so weit wie möglich.“gemeinsame Linearfaktoren von Zähler und Nenner streichen – bleibt unverändert
„Die Definitionslücke ist hebbar.“ · „ lässt sich an der Stelle stetig ergänzen (stetig fortsetzen).“Der Graph hat bei ein Loch; man kann es mit einem Punkt „füllen“.
„Der Graph hat bei eine senkrechte Asymptote (Polgerade).“ ist eine Polstelle; die Gerade wird vom Graphen nicht geschnitten.
„Für gegen von links strebt gegen minus unendlich.“
„Die Funktionswerte wachsen über alle Grenzen.“ · „ wird beliebig groß.“
„Beschreiben Sie das Verhalten von in der Umgebung der Polstellen.“Für jede Polstelle angeben, gegen oder die Werte links und rechts streben

Schreibweisen

SchreibweiseGelesen / Bedeutung
 (auch )„ gegen 2 von links“: nähert sich 2 und ist dabei kleiner als 2
 (auch )„ gegen 2 von rechts“: nähert sich 2 und ist dabei größer als 2
„Der Grenzwert von für gegen 2 von rechts ist plus unendlich.“
Vorzeichenwechsel von nach links von ist , rechts von ist
„ Schlange von “: der gekürzte Funktionsterm

Darstellung: Vorzeichentabelle

Das Vorzeichen von links und rechts einer Polstelle bestimmt man mit einer Vorzeichentabelle: Für jeden Faktor des gekürzten Terms das Vorzeichen in jedem Intervall eintragen, dann multiplizieren bzw. dividieren. Beispiel :

Bei ist links und rechts positiv: Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, . Bei wechselt zwar das Vorzeichen, dort liegt aber eine Nullstelle, keine Definitionslücke.

Sprachliche und fachliche Stolpersteine
  • Nullstelle von : Zähler null, . Definitionslücke: Nenner null. Nicht verwechseln!
  • „Zähler und Nenner sind null, also hebbar“ ist falsch. Beispiel: hat bei eine Polstelle.
  • „unendlich“ ist keine Zahl. Nicht schreiben, sondern oder „ für “.
  • „Pol“, „Polstelle“ und „Unendlichkeitsstelle“ bedeuten dasselbe. „hebbar“ und „behebbar“ ebenfalls.
  • „von links“ bezieht sich auf die -Achse (), nicht auf die Lage des Graphen.

3 Beispielaufgabe mit Musterlösung

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion mit

  1. Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge von .
  2. Untersuchen Sie die Definitionslücken auf ihre Art.
  3. Geben Sie die Koordinaten des Punktes an, in dem der Graph ein Loch hat, und bestimmen Sie die Nullstellen von .
  4. Beschreiben Sie das Verhalten von in der Umgebung der Polstellen.

Lösung

a) Allgemeiner Ansatz. mit .

Umformung des Nenners in Linearfaktoren: erst ausklammern, dann gruppieren, dann dritte binomische Formel.

Einsetzen in : (einfach), (doppelt), (einfach). Also

b) Allgemeiner Ansatz. Zähler ebenfalls in Linearfaktoren zerlegen, kürzen und für jede Lücke die Vielfachheiten (Zähler) und (Nenner) vergleichen.

Umformung des Zählers mit der --Formel: Aus folgt

also . Damit gilt für alle :

Einsetzen der Lücken in die Kriterien:

Ergebnis
11: hebbar
01Pol, Ordnung 1: mit VZW
02Pol, Ordnung 2: ohne VZW

c) Loch. Allgemein: Loch in . Einsetzen von in den gekürzten Term:

Also hat der Graph ein Loch in .

Nullstellen. Allgemein: Zähler des gekürzten Terms gleich null und . Hier: . Die Zählernullstelle des ungekürzten Terms ist keine Nullstelle von , denn . Also .

d) Vorzeichentabelle für (die Stelle braucht man hier nicht, denn ist dort definiert):

Bei wechselt das Vorzeichen von nach , bei ist auf beiden Seiten negativ:

Senkrechte Asymptoten sind die Geraden (die -Achse) und .

xy−3−2−11234−6−4−2240GfL(−1 | 1)N(3 | 0)
Graph von : Loch in , Polstellen bei und , Nullstelle bei
GrößeErgebnis
Definitionsmenge
gekürzter Term
hebbare Lücke, Loch in
Polstelle mit VZW: von nach
Polstelle ohne VZW: beidseitig
Nullstelle

4 Übungen

Die Teilaufgaben werden von a) nach f) schwieriger. Tragen Sie Ihre Ergebnisse ein und klicken Sie auf „Eingaben prüfen“. Grün heißt richtig, Gelb: der Wert stimmt, die Form noch nicht, Rot: noch nicht richtig.

Aufgabe 1 Definitionsmenge bestimmen

Grundlagen

Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge. Tragen Sie die Definitionslücken der Größe nach ein: . Brüche mit Schrägstrich, z. B. -5/2.

  3. ,  
  5. ,  
  6. Anzahl der Definitionslücken:

Aufgabe 2 Art der Definitionslücken

Polstellenkriterien

Untersuchen Sie die angegebenen Definitionslücken auf ihre Art. Zerlegen Sie dazu Zähler und Nenner in Linearfaktoren.

  1. :
  2. :
  3. :
    :
  4. :
  5. :
    :
  6. :
    Ordnung der Polstelle:

Aufgabe 3 Hebbare Lücken und Polstellen

Kürzen

Kürzen Sie den Funktionsterm so weit wie möglich. Bestimmen Sie den Punkt , in dem der Graph ein Loch hat, und gegebenenfalls die Polstelle.

  3. Polstelle
  4. Polstelle
  5. hat zwei Löcher. hat die kleinere -Koordinate.
  6. mit . Bestimmen Sie so, dass eine hebbare Definitionslücke ist.

5 Sachaufgaben und weiterführende Aufgaben

Aufgabe 4 Enzymkinetik

Textaufgabe

Die Geschwindigkeit einer enzymatischen Reaktion hängt von der Konzentration des Substrats ab. Für ein Enzym gilt nach dem Modell von Michaelis und Menten

Dabei ist in und in µ angegeben.

  1. Der Funktionsterm hat die Definitionslücke .
    Art:
  2. Im Sachzusammenhang gilt . Die Polstelle liegt dieses Bereichs und hat für die Reaktion .
  3. Berechnen Sie: µ,   µ
  4. Bestimmen Sie die Substratkonzentration, bei der µ ist:
  5. Die Reaktionsgeschwindigkeit µ wird .

Aufgabe 5 Kosten einer Impfkampagne

Textaufgabe

Ein Gesundheitsamt modelliert die Kosten (in Millionen Euro) einer Impfkampagne, mit der Prozent der Bevölkerung geimpft werden, durch

  1. Der Funktionsterm hat die Definitionslücke .
    Art:
  2. ,   ,   (in Mio. €)
  3. Mit 8 Mio. € erreicht man eine Impfquote von  %.
  4. Steigert man die Impfquote von 90 % auf 95 %, so steigen die Kosten um Mio. €.
  5. Eine Impfquote von 100 % ist nach diesem Modell .

Aufgabe 6 Wahr oder falsch?

Wahr/Falsch

Entscheiden Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung in Ihren Notizen und vergleichen Sie mit der Lösung.

  1. Jede Nullstelle des Nenners ist eine Polstelle.
  2. Ist und , so ist eine Polstelle von .
  3. Die Funktionen und sind gleich.
  4. Bei einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel streben die Funktionswerte links und rechts gegen dasselbe Unendlich ( oder ).
  5. Ist eine doppelte Nullstelle des Nenners und keine Nullstelle des Zählers, so ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
  6. Eine gebrochen-rationale Funktion kann an einer hebbaren Definitionslücke eine Nullstelle haben.

Aufgabe 7 Nehmen Sie Stellung

Stellungnahme

Nehmen Sie Stellung zu den Aussagen. Wählen Sie die zutreffende Beurteilung und formulieren Sie Ihre Stellungnahme in vollständigen Sätzen in Ihren Notizen.

  1. Lina: „Bei ist eine Nullstelle des Nenners. Also hat der Graph bei eine senkrechte Asymptote.“
  2. Jonas: „Bei hat der Faktor im Nenner einen geraden Exponenten und der Zähler ist bei nicht null. Deshalb ist eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.“
  3. Sara: „. Also ist für .“

Aufgabe 8 Parameter und Funktionsterme

weiterführend

Bestimmen Sie die Parameter bzw. wählen Sie den passenden Funktionsterm.

  1. . Für ist eine hebbare Definitionslücke.
    Dann hat der Graph ein Loch in
    .
  2. Welche Funktion hat bei eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel und bei eine hebbare Definitionslücke?
  3. mit . hat genau für zwei Werte von eine hebbare Definitionslücke:
    (kleinerer Wert),  
  4. Für alle anderen Werte von hat .

6 Das Wichtigste auf einen Blick

ist …Art der LückeGraph
-fache Zähler- und -fache Nennernullstelle mit hebbarLoch in
nach dem Kürzen noch -fache Nennernullstelle, ungeradePolstelle mit VZWsenkrechte Asymptote; links und rechts verschiedene Unendlich
nach dem Kürzen noch -fache Nennernullstelle, geradePolstelle ohne VZWsenkrechte Asymptote; beidseitig oder beidseitig
Vorgehen
  1. Definitionsmenge: Nullstellen des Nenners bestimmen, – am ungekürzten Term.
  2. Zerlegen: Zähler und Nenner in Linearfaktoren zerlegen (Ausklammern, binomische Formeln, --Formel).
  3. Kürzen: gemeinsame Linearfaktoren streichen; man erhält .
  4. Klassifizieren: nicht mehr im Nenner von → hebbar, Loch . Sonst Polstelle; Ordnung = Exponent des Faktors im Nenner von : ungerade → mit VZW, gerade → ohne VZW.
  5. Verhalten an den Polstellen: mit einer Vorzeichentabelle das Vorzeichen links und rechts bestimmen.
Typische Fehler
  • Die Definitionsmenge erst nach dem Kürzen bestimmen und hebbare Lücken „vergessen“.
  • Jede Nennernullstelle für eine Polstelle halten – oder jede gemeinsame Nullstelle von Zähler und Nenner für hebbar halten.
  • Die Vielfachheit im ungekürzten Nenner für den Vorzeichenwechsel verwenden: Bei zählt die Ordnung 3, nicht 4.
  • Eine hebbare Lücke als Nullstelle angeben, weil das Loch auf der -Achse liegt.
  • schreiben – ist keine Zahl.

Fachwortschatz

gebrochen-rationale Funktion · Zählerpolynom / Nennerpolynom · Zählergrad / Nennergrad · maximale Definitionsmenge · Definitionslücke · hebbar / stetig ergänzen · Polstelle (Pol) · Ordnung einer Polstelle · mit / ohne Vorzeichenwechsel · senkrechte Asymptote · Linearfaktor · Vielfachheit (einfache, doppelte Nullstelle) · kürzen · Vorzeichentabelle · Grenzwert