Lernpfad Mathematik Studienkolleg · M-Kurs
2. Semester · Integralrechnung · Thema 4

Fläche zwischen zwei Graphen

Sie lernen ein festes Vorgehen, mit dem Sie den Inhalt einer Fläche zwischen zwei Graphen berechnen – und wenden es auf Querschnitte von Bauteilen, Kanäle und medizinische Messkurven an.

1 Beispielaufgabe: So gehen Sie vor

Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen und mit und . Die Graphen von und schließen zwei Flächenstücke ein.

Berechnen Sie den Inhalt der gesamten eingeschlossenen Fläche.

xy−2−112−6−4−22460GfGgS₁S₂S₃
Auf liegt oben, auf liegt oben.

Allgemeiner Ansatz

Der Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von und über dem Intervall ist

Liegt der Graph von auf dem ganzen Intervall oberhalb des Graphen von , also , dann gilt einfach

Kurz: „oberer minus unterer Graph“.

Den Betrag kann man nicht direkt integrieren. Deshalb zerlegt man das Intervall an den Schnittstellen: Zwischen zwei benachbarten Schnittstellen wechselt die Differenzfunktion ihr Vorzeichen nicht.

Schritt 1: Skizze anfertigen

Eine Skizze zeigt, wie viele Flächenstücke es gibt und welcher Graph wo oben liegt. Hier: zwei Flächenstücke, die Graphen schneiden sich dreimal.

Schritt 2: Schnittstellen berechnen

Allgemein: . Einsetzen und umformen:

Schnittstellen: , , . Sie sind die Integrationsgrenzen.

Schritt 3: Differenzfunktion und deren Stammfunktion berechnen

. Eine Stammfunktion ist

Schritt 4: Integrale zwischen benachbarten Schnittstellen berechnen

Allgemein: . Einsetzen:

Das negative Vorzeichen von zeigt: Auf liegt der Graph von oberhalb des Graphen von .

Schritt 5: Beträge addieren

Die eingeschlossene Fläche hat den Inhalt (Flächeneinheiten).

Achtung

Integriert man in einem Schritt von bis , erhält man . Die beiden Flächenstücke heben sich auf – der Wert ist kein Flächeninhalt.

Gut zu wissen
  • Für die Fläche zwischen zwei Graphen ist es egal, ob sie über oder unter der -Achse liegt. Es zählt nur die Differenz . Verschiebt man beide Graphen um denselben Wert nach oben oder unten, ändert sich der Flächeninhalt nicht.
  • In Sachaufgaben sind die Grenzen oft vorgegeben (z. B. ein Zeitraum) oder ergeben sich aus der Form eines Bauteils. Dann prüfen Sie nur, ob dazwischen weitere Schnittstellen liegen.
  • Komplizierte Flächen zerlegt man in Teilflächen, die man berechnen kann: z. B. Rechteck minus Parabelfläche.
SchrittErgebnis
Schnittstellen,  ,  
Differenzfunktion,  
Teilintegrale,  
Flächeninhalt

2 Typische Ausdrucksweisen und Darstellungen

Formulierungen in Aufgaben und Texten

FormulierungBedeutung
„Die Graphen von und schließen eine Fläche ein.“
„… begrenzen eine Fläche.“		Gesucht ist die Fläche zwischen den Graphen; die Grenzen sind die Schnittstellen.
„die von , der Geraden und der -Achse begrenzte Fläche“Die Fläche hat mehrere Ränder. Jeder genannte Rand liefert eine Grenze oder eine Randfunktion.
„die Fläche zwischen und über dem Intervall “Die Grenzen sind vorgegeben: , . Dazwischen liegende Schnittstellen beachten.
„Berechnen Sie den Inhalt der Fläche.“Ergebnis ist ein Flächeninhalt, also nie negativ.
„Berechnen Sie das Integral.“Ergebnis ist ein Integralwert; er kann negativ oder sein.
„Der Querschnitt ist parabelförmig.“Der Rand wird durch eine Parabel beschrieben; die Gleichung stellen Sie selbst auf.
„Legen Sie ein geeignetes Koordinatensystem fest.“Ursprung so wählen, dass die Gleichungen einfach werden, z. B. in den Scheitel der Parabel.
„Interpretieren Sie den Flächeninhalt im Sachzusammenhang.“In Worten und mit Einheit sagen, was die Zahl im Sachkontext bedeutet.

Schreibweisen und Begriffe

Schreibweise / BegriffBedeutung
Inhalt der Fläche zwischen und über
Schnittstelle  /  Schnittpunkt Die Schnittstelle ist nur der -Wert, der Schnittpunkt hat zwei Koordinaten.
Querschnitt  /  QuerschnittsflächeSchnittfläche senkrecht zur Längsrichtung, z. B. eines Kanals oder Tunnels
Volumen eines geraden Prismas: Querschnittsfläche mal Länge
(area under the curve)Fläche unter einer Konzentrations-Zeit-Kurve, z. B. in

Einheiten der Fläche im Sachzusammenhang

Die Einheit eines Flächeninhalts ist immer Einheit der -Achse mal Einheit der -Achse.

-Achse-AchseFläche
Breite in mHöhe in mQuerschnitt in
Zeit in hKonzentration in
Zeit in hGlukose in
Sprachliche Stolpersteine
  • einschließen (Verb): „Die Graphen schließen eine Fläche ein.“ – eingeschlossen (Partizip): „die eingeschlossene Fläche“.
  • Flächeninhalt und Inhalt der Fläche bedeuten dasselbe. „Fläche“ allein meint oft das geometrische Gebiet, nicht die Zahl.
  • oberhalb / unterhalb des Graphen: „Auf liegt oberhalb von .“
  • „Der Graph von “ wird kurz geschrieben und „G f“ gelesen.

3 Sachaufgaben und weiterführende Aufgaben

Tragen Sie Ihre Ergebnisse ein und klicken Sie auf „Eingaben prüfen“. Grün heißt richtig, Gelb: der Wert stimmt, die Form noch nicht, Rot: noch nicht richtig. Exakte Ergebnisse als Bruch mit Schrägstrich (64/3), gerundete Ergebnisse mit Komma (4,24). Terme mit ^ und /, z. B. 5-5x^2/16.

Aufgabe 1 Das Parabelsegment

weiterführend

Gegeben sind die Funktionen mit und mit . Die Graphen schließen ein Parabelsegment ein.

xy−5−4−3−2−11234−1123450GfGg
Parabelsegment zwischen und
  1. Berechnen Sie die Schnittstellen: kleinere , größere
  2. Berechnen Sie den Inhalt des Parabelsegments:
  3. Das Segment hat die Breite und die Höhe .
    Zeigen Sie, dass gilt: .  
  4. Zeigen Sie allgemein: Für und mit , gilt ebenfalls .
    Die Schnittstellen sind mit . Dann gilt und .
  5. Ein Fenster hat die Form eines Parabelsegments. Es ist unten m breit und m hoch.
    Glasfläche:

Aufgabe 2 Betonrinne

Textaufgabe

Für die Entwässerung eines Hofs werden m lange Rinnenstücke aus Beton hergestellt. Der Querschnitt ist ein Rechteck ( cm breit, cm hoch) mit einem parabelförmigen Ausschnitt. Der Ausschnitt ist oben cm breit und cm tief. Der Ursprung liegt im tiefsten Punkt des Ausschnitts (1 Einheit = 1 cm). Beton hat die Masse t.

x in cmy in cm−40−2020−20−1010203040500(30|45)
Querschnitt eines Rinnenstücks (Beton gefärbt)
  1. Der Rand des Ausschnitts wird durch beschrieben. Bestimmen Sie
  2. Berechnen Sie den Inhalt der Ausschnittsfläche:
  3. Querschnittsfläche des Betons:
  4. Bestimmen Sie das Volumen und die Masse des Betons in einem Rinnenstück.
    ,   t

Aufgabe 3 Wildtierdurchlass

Textaufgabe

Damit Wildtiere eine Straße gefahrlos unterqueren können, wird ein m langer Durchlass aus Beton gebaut. Außen- und Innenrand des Querschnitts sind parabelförmig: Außen ist der Querschnitt m breit und m hoch, die Öffnung ist m breit und m hoch (1 Einheit = 1 m). Beton hat die Masse t.

x in my in m−5−4−3−2−1123−1123450GpGq
Querschnitt: Außenrand , Innenrand , Beton gefärbt
  1. Bestimmen Sie die Gleichungen der Randparabeln.
    außen:
    innen:
  2. Fläche unter : ,   Öffnung:
    Querschnittsfläche des Betons:
  3. Betonvolumen: ,   Masse: t
  4. Tom: „Die Betonfläche liegt zwischen und . Also rechne ich “
    Tom erhält .

Aufgabe 4 Bewässerungskanal

Textaufgabe

Ein km langer Bewässerungskanal hat einen parabelförmigen Querschnitt. Er ist oben m breit und m tief. Der Ursprung liegt im tiefsten Punkt (1 Einheit = 1 m).

x in my in m−4−3−2−1121230Gf(3|3)
Querschnitt des Kanals, Wasser bis zur halben Höhe
  1. Bestimmen Sie die Gleichung des Kanalbodens:
  2. Berechnen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche bei voller Füllung:
  3. Wie viel Wasser befindet sich im ganz gefüllten Kanal?
  4. Der Kanal ist bis zur halben Höhe gefüllt. Die Wasseroberfläche reicht von bis mit m.
    Querschnittsfläche des Wassers: ,   das sind % der maximalen Wassermenge.
  5. Bestimmen Sie die Wasserhöhe, bei der der Kanal die Hälfte der maximalen Wassermenge enthält: m

Aufgabe 5 Glukosetoleranztest

Textaufgabe

Bei einem oralen Glukosetoleranztest (oGTT) trinkt eine Patientin mit Typ-2-Diabetes eine Glukoselösung. Danach wird die Glukosekonzentration im Blut gemessen. Der Test wird vor Beginn einer Therapie und nach mehreren Wochen Therapie mit einem Medikament durchgeführt. Die Messwerte werden für modelliert durch

ohne Therapie:
mit Therapie:

Dabei ist die Zeit in Stunden, und sind die Konzentrationen in . Der Nüchternwert beträgt .

t in hc in mg/dL0,511,522,53100120140160180200GgGm
Glukosekonzentration ohne () und mit Therapie (); gestrichelt: Nüchternwert
  1. Berechnen Sie die Schnittstellen der Graphen: ,
  2. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen:
  3. Fläche zwischen dem Graphen und der Geraden (Glukose über dem Nüchternwert):
    ohne Therapie: ,   mit Therapie:
  4. Die Therapie verringert die Fläche über dem Nüchternwert um % (auf zwei Nachkommastellen).
  5. Der Unterschied zwischen den beiden Konzentrationen ist am größten zum Zeitpunkt h.
    Er beträgt dann .

Aufgabe 6 Antibiotikum über der Hemmkonzentration

Textaufgabe

Ein Antibiotikum hemmt das Wachstum von Bakterien nur, wenn seine Konzentration im Blut über der minimalen Hemmkonzentration (MHK) des Erregers liegt. Wichtig sind deshalb die Zeit oberhalb der MHK und die Fläche zwischen der Konzentrationskurve und der MHK-Linie. Die Konzentration nach einer Gabe wird modelliert durch

für . Dabei ist die Zeit in Stunden und die Konzentration in . Die MHK des Erregers beträgt .

t in hc in mg/L123456724680MHK
Konzentrations-Zeit-Kurve; gefärbt: Fläche oberhalb der MHK
  1. Die Konzentration liegt von h bis h über der MHK, also Stunden lang.
  2. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von und der MHK-Linie:
  3. Berechnen Sie die gesamte Fläche unter der Kurve von bis h:
  4. Bei einem anderen Erreger beträgt die MHK .
    Zeit über der MHK: von h bis h; Fläche oberhalb der MHK:
  5. Lina: „Die MHK ist beim zweiten Erreger nur etwas mehr als halb so groß. Also ist die Fläche oberhalb der MHK ungefähr doppelt so groß.“

4 Das Wichtigste auf einen Blick

SituationAnsatz
auf
Graphen schneiden sich in mit
zusammengesetzte Flächein Teilflächen zerlegen, z. B. Rechteck minus Parabelfläche
Parabelsegment
Prisma (Kanal, Tunnel, Rinne)
Vorgehen
  1. Skizze anfertigen: Wie viele Flächenstücke? Welcher Graph liegt oben?
  2. Schnittstellen berechnen: . In Sachaufgaben: vorgegebene Grenzen prüfen.
  3. Differenzfunktion bilden und eine Stammfunktion bestimmen.
  4. Zwischen benachbarten Schnittstellen integrieren: .
  5. Beträge der Teilintegrale addieren.
  6. In Sachaufgaben: Einheit angeben und das Ergebnis im Sachzusammenhang deuten.
Typische Fehler
  • Über Schnittstellen hinweg integriert: Teilflächen heben sich ganz oder teilweise auf.
  • „unterer minus oberer Graph“ gerechnet und das negative Vorzeichen nicht beachtet.
  • Ein Graph begrenzt die Fläche nur auf einem Teil des Intervalls (Aufgabe 3): Dann zerlegen statt einfach zu bilden.
  • Flächeninhalt mit Integral verwechselt: Ein Flächeninhalt ist nie negativ.
  • Einheiten vergessen oder falsch umgerechnet: .

Fachwortschatz

Schnittstelle · Differenzfunktion · Integrationsgrenzen · Flächeninhalt · eingeschlossene Fläche · Parabelsegment · Querschnitt · Prisma · AUC · minimale Hemmkonzentration (MHK)

Ausblick: Bisher ließen sich alle Stammfunktionen mit den Grundregeln bestimmen. Im nächsten Thema lernen Sie die Integration durch Substitution für verkettete Funktionen.