Lernpfad Funktionen Studienkolleg · M-Kurs
Lernpfad · Thema 1

Symmetrie von Funktionen

Sie lernen, wann der Graph einer Funktion achsensymmetrisch zur -Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist, wie man das nachweist und wie man Symmetrie in Sachzusammenhängen deutet.

1 Definitionen

Symmetrie lässt sich nur untersuchen, wenn zu jeder Stelle auch die Gegenstelle zur Definitionsmenge gehört. Man sagt dann: Die Definitionsmenge ist symmetrisch zu 0. Beispiele: , , . Nicht symmetrisch zu 0 sind z. B. oder .

Definition 1 · Achsensymmetrie zur y-Achse

Eine Funktion heißt gerade Funktion, und ihr Graph heißt achsensymmetrisch zur -Achse, wenn für alle gilt: und

Geometrisch: Die Spiegelung an der -Achse bildet den Graphen auf sich selbst ab. Zu jedem Punkt des Graphen gehört auch der Punkt .

Definition 2 · Punktsymmetrie zum Ursprung

Eine Funktion heißt ungerade Funktion, und ihr Graph heißt punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung , wenn für alle gilt: und

Geometrisch: Die Punktspiegelung am Ursprung (das ist dasselbe wie eine Drehung um um ) bildet den Graphen auf sich selbst ab. Zu jedem Punkt gehört auch der Punkt .

xy−3−2−112−2−1120GfP(x | f(x))P′(−x | f(x))
achsensymmetrisch zur -Achse:
xy−3−2−112−3−2−1120GfP(x | f(x))P′(−x | −f(x))
punktsymmetrisch zum Ursprung:
Satz · Symmetrie ganzrationaler Funktionen

Für eine ganzrationale Funktion in ausmultiplizierter Form

gilt:

  • Kommen nur gerade Exponenten vor, ist der Graph achsensymmetrisch zur -Achse.
  • Kommen nur ungerade Exponenten vor, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.
  • Kommen gerade und ungerade Exponenten vor, besitzt der Graph keine dieser beiden Symmetrien.

Achtung: Ein konstanter Summand gehört wegen zum geraden Exponenten .

Merke
  • Nachweis einer Symmetrie: allgemein mit rechnen – Zahlenbeispiele genügen nie.
  • Widerlegung einer Symmetrie: Ein einziges Gegenbeispiel genügt.
  • Ist ungerade und , dann gilt , denn aus folgt .

2 Typische Ausdrucksweisen und Darstellungen

Formulierungen in Aufgaben und Texten

FormulierungBedeutung
„Der Graph von ist achsensymmetrisch zur -Achse.“
„ ist eine gerade Funktion.“
„ ist symmetrisch bezüglich der -Achse.“		 für alle
„Der Graph von ist punktsymmetrisch zum Ursprung.“
„… zum Koordinatenursprung / zum Punkt .“
„ ist eine ungerade Funktion.“		 für alle
„Untersuchen Sie (den Graphen von ) auf Symmetrie.“Beide Symmetrien prüfen, das Ergebnis angeben und begründen. Auch „keine der beiden Symmetrien“ ist ein Ergebnis.
„Weisen Sie nach, dass …“ / „Zeigen Sie, dass …“Allgemeine Rechnung mit für alle . Einzelne Funktionswerte reichen nicht.
„Begründen Sie …“Ein tragfähiges Argument angeben, z. B. „Im Funktionsterm kommen nur gerade Exponenten vor.“
„Nehmen Sie Stellung zu der Aussage …“Entscheiden, ob die Aussage richtig, falsch oder ungenau ist, und die Entscheidung mathematisch begründen (ggf. mit Gegenbeispiel).
Sprachliche Stolpersteine
  • Symmetrisch ist der Graph, nicht die Funktion. Über die Funktion sagt man „gerade“ bzw. „ungerade“.
  • „gerade Funktion“ ≠ „eine Gerade“: Der Graph von ist eine Gerade, aber ist keine gerade Funktion.
  • Die Symmetrieachse (Spiegelachse) ist hier immer die -Achse, das Symmetriezentrum immer der Ursprung. Bei anderen Achsen oder Punkten muss man sie ausdrücklich nennen, z. B. „achsensymmetrisch zur Geraden “.
  • Der Graph einer Funktion ist (außer für ) nie achsensymmetrisch zur -Achse, weil jedem nur ein Funktionswert zugeordnet ist.

Darstellung in einer Wertetabelle

In der Wertetabelle erkennt man die Symmetrie an den Funktionswerten zu und :

Symmetrie
gleiche Werte
Gegenzahlen

Eine Wertetabelle kann eine Symmetrie nur nahelegen, aber nicht beweisen, weil sie nur endlich viele Stellen enthält.

3 Beispielaufgabe mit Musterlösung

Aufgabe

Untersuchen Sie den Graphen der Funktion mit auf Symmetrie.

Lösung

1. Definitionsmenge prüfen. Wegen ist der Nenner nie null, also . Diese Menge ist symmetrisch zu 0.

2. Allgemeiner Ansatz: In den Funktionsterm wird für eingesetzt.

3. Umformen. Es gilt und :

4. Ergebnis formulieren. Für alle gilt . Der Graph von ist also punktsymmetrisch zum Ursprung; ist eine ungerade Funktion.

xy−5−4−3−2−11234−3−2−1120
Graph von : Die Punktspiegelung am Ursprung bildet den Graphen auf sich ab.
SchrittErgebnis
Definitionsmenge, symmetrisch zu 0
Vergleich für alle
Symmetriepunktsymmetrisch zum Ursprung ( ungerade)

Zwei kurze Ergänzungen

Ganzrationale Funktion: enthält nur die Exponenten , und – alle gerade. Der Graph ist achsensymmetrisch zur -Achse.

Widerlegung mit Gegenbeispiel: enthält gerade und ungerade Exponenten. Es gilt und . Wegen ist der Graph nicht achsensymmetrisch zur -Achse, wegen auch nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

4 Übungen

Die Teilaufgaben werden von a) nach f) schwieriger. Tragen Sie Ihre Ergebnisse ein und klicken Sie auf „Eingaben prüfen“. Grün heißt richtig, Gelb: der Wert stimmt, die Form noch nicht, Rot: noch nicht richtig.

Aufgabe 1 Symmetrie am Graphen erkennen

Grundlagen

Entscheiden Sie, welche Symmetrie der abgebildete Graph besitzt.

  1. xy−3−2−112−2−110
  2. xy−3−2−112−2−110
  3. xy−3−2−112−2−110
  4. xy−3−2−112−2−110

Aufgabe 2 Ganzrationale Funktionen

Exponentenregel

Untersuchen Sie den Graphen von auf Symmetrie. Multiplizieren Sie den Funktionsterm, falls nötig, zuerst aus.

  1.  → 
  2.  → 
  3.  → 
  4.  → 
  5.  → 
  6.  → 

Aufgabe 3 Nachweis mit

Nachweis

Berechnen Sie und untersuchen Sie den Graphen von auf Symmetrie.

Terme eingeben: Exponent mit ^, Bruch mit /, Klammern mit ( ), z. B. -x/(x^2+1). Die eulersche Zahl schreiben Sie als e, also als e^(-x). Jede gleichwertige Schreibweise wird als richtig erkannt.

  1. Symmetrie:
  2. ,  
    Symmetrie:
  3. Symmetrie:
  4. Symmetrie:
  5. ,  
    Ist symmetrisch zu 0?
    Symmetrie:
  6. Gegeben sind und mit .
    Der Graph von ist punktsymmetrisch zum Ursprung für .
    Der Graph von ist achsensymmetrisch zur -Achse für .

5 Sachaufgaben und weiterführende Aufgaben

Aufgabe 4 Rote Blutkörperchen

Textaufgabe

Rote Blutkörperchen (Erythrozyten) haben die Form einer beidseitig eingedellten Scheibe mit einem Durchmesser von etwa . Legt man ein Koordinatensystem so, dass die -Achse die Mittelachse der Zelle ist, wird die obere Randlinie des Querschnitts im Bereich näherungsweise beschrieben durch

mit und in . Die untere Randlinie wird durch beschrieben.

x in µmy in µm−4−3−2−112−1,5−1−0,50,510fg
Querschnitt eines Erythrozyten (Modell)
  1. Die obere Randlinie ist .
    Begründung:

  2. Die Dicke der Zelle an der Stelle beträgt . Berechnen Sie:

         
  3. Der Graph von entsteht aus dem Graphen von durch Spiegelung .
    Der Graph von ist .
  4. „Die gesamte Querschnittslinie (obere und untere Randlinie zusammen) ist der Graph einer Funktion.“

Aufgabe 5 Atemstromstärke bei ruhiger Atmung

Textaufgabe

Bei ruhiger Atmung lässt sich die Atemstromstärke (Volumen der Atemluft pro Zeit) in einem vereinfachten Modell beschreiben durch

mit in Sekunden und in . Dabei bedeutet Einatmen und Ausatmen; zum Zeitpunkt beginnt eine Einatmung. Verwenden Sie .

t in sv in L/s−4−3−2−112−0,75−0,5−0,250,250,50Einatmen (v > 0)Ausatmen (v < 0)
Atemstromstärke im Modell (Atemzyklus 4 s)
  1. Es gilt für alle . Der Graph von ist also .
  2. Gemessen wird . Ohne Rechnung folgt:
  3. Deutung von b):
  4. Berechnen Sie:   
  5. Für jeden Zeitpunkt gilt:

Aufgabe 6 Fehlende Funktionswerte ergänzen

weiterführend

Der Graph einer Funktion mit ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Abbildung zeigt ihn nur für ; er verläuft durch und .

xy−4−3−2−1123−3−2−1120A(1 | 2)B(3 | −1)
  1. Bestimmen Sie:   
  3. Der Graph einer Funktion mit ist achsensymmetrisch zur -Achse; es gilt und .
      
  4.   

  5. Übertragen Sie den Graphen von in Ihre Notizen und ergänzen Sie ihn für . (Ohne Eingabefeld – vergleichen Sie mit der Lösung.)

Aufgabe 7 Wahr oder falsch?

Wahr/Falsch

Entscheiden Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung in Ihren Notizen und vergleichen Sie mit der Lösung.

  1. Der Graph von ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
  2. Ist der Graph von achsensymmetrisch zur -Achse, so gilt .
  3. Gilt , so ist der Graph von achsensymmetrisch zur -Achse.
  4. Es gibt eine Funktion, deren Graph zugleich achsensymmetrisch zur -Achse und punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
  5. Der Graph von besitzt keine der beiden Symmetrien, weil nicht symmetrisch zu 0 ist.
  6. Sind die Graphen von und punktsymmetrisch zum Ursprung, so ist der Graph von achsensymmetrisch zur -Achse.

Aufgabe 8 Nehmen Sie Stellung

Stellungnahme

Nehmen Sie Stellung zu den Aussagen. Wählen Sie die zutreffende Beurteilung und formulieren Sie Ihre Stellungnahme in vollständigen Sätzen in Ihren Notizen.

  1. Lena: „Der Graph von ist punktsymmetrisch zum Ursprung, weil und gilt.“
  2. Ahmed: „Der Graph von ist achsensymmetrisch, denn eine Parabel ist immer symmetrisch.“
  3. Mariam: „Hat ein ganzrationaler Funktionsterm einen geraden Grad, so ist der Graph immer achsensymmetrisch zur -Achse.“

6 Das Wichtigste auf einen Blick

achsensymmetrisch zur -Achsepunktsymmetrisch zum Ursprung
Bedingung (für alle )
GeometrieSpiegelung an der -AchsePunktspiegelung am Ursprung (Drehung um )
Bezeichnung von gerade Funktionungerade Funktion
Ganzrationale Funktionnur gerade Exponenten (auch )nur ungerade Exponenten
Beispiele
Besonderheit–
Vorgehen beim Untersuchen auf Symmetrie
  1. Prüfen, ob symmetrisch zu 0 ist. Wenn nicht: keine der beiden Symmetrien.
  2. einsetzen und vereinfachen.
  3. mit und mit vergleichen.
  4. Ergebnis in einem Satz formulieren. Bei „keine Symmetrie“ ein Gegenbeispiel angeben.
Typische Fehler
  • Symmetrie mit einzelnen Zahlenwerten „beweisen“.
  • Den konstanten Summanden übersehen: ist nicht ungerade.
  • Funktionsterme in Produktform nicht ausmultiplizieren, bevor man die Exponenten betrachtet.
  • Vorzeichenfehler bei Potenzen: , aber ; außerdem .
  • „symmetrisch“ ohne Angabe der Achse bzw. des Zentrums schreiben.

Fachwortschatz

Definitionsmenge symmetrisch zu 0 · für alle · achsensymmetrisch zur -Achse · punktsymmetrisch zum Ursprung · gerade Funktion · ungerade Funktion · Spiegelung an der -Achse · Punktspiegelung am Ursprung · gerade / ungerade Exponenten · Gegenbeispiel