Sie lernen, was „monoton steigend“ und „monoton fallend“ genau bedeutet, wie man Monotonieintervalle angibt und wie man Monotonie mit der Definition nachweist – ohne Ableitung.
1 Definitionen
Monotonie beschreibt, wie sich die Funktionswerte verändern, wenn größer wird. Sie bezieht sich immer auf ein Intervall .
Definition 1 · Monotonie
Die Funktion sei auf dem Intervall definiert. heißt auf
monoton steigend, wenn für alle mit gilt: ,
streng monoton steigend, wenn für alle mit gilt: ,
monoton fallend, wenn für alle mit gilt: ,
streng monoton fallend, wenn für alle mit gilt: .
Statt „steigend“ sagt man auch „wachsend“, statt „fallend“ auch „abnehmend“.
streng monoton steigend: streng monoton fallend:
Definition 2 · Monotonieintervalle
Die größtmöglichen Intervalle, auf denen streng monoton steigend bzw. streng monoton fallend ist, heißen Monotonieintervalle von . Eine Stelle, an der das Monotonieverhalten wechselt (z. B. der Scheitelpunkt einer Parabel), darf zu beiden angrenzenden Intervallen gehören.
Merke
Wer streng monoton steigt, steigt auch monoton – umgekehrt nicht. Eine konstante Funktion ist monoton steigend und monoton fallend zugleich, aber nicht streng monoton.
Monotonie gilt immer auf einem Intervall, nie „an einer Stelle“.
Nachweis (Differenzmethode): Für beliebige aus das Vorzeichen von bestimmen. Positiv → streng monoton steigend, negativ → streng monoton fallend.
Widerlegung: Ein einziges Gegenbeispiel mit „falscher“ Reihenfolge der Funktionswerte genügt.
Ist auf streng monoton steigend, dann ist dort streng monoton fallend; und mit sind ebenfalls streng monoton steigend.
2 Typische Ausdrucksweisen und Darstellungen
Formulierungen in Aufgaben und Texten
Formulierung
Bedeutung
„ ist auf streng monoton steigend (wachsend).“ „Der Graph steigt auf .“ · „Die Funktionswerte nehmen zu.“ „Je größer , desto größer .“
für alle
„ ist auf streng monoton fallend (abnehmend).“ „Der Graph fällt auf .“ · „Die Funktionswerte nehmen ab.“ „Je größer , desto kleiner .“
für alle
„Untersuchen Sie auf Monotonie.“ „Beschreiben Sie das Monotonieverhalten von .“ „Geben Sie die Monotonieintervalle an.“
in Intervalle zerlegen und für jedes angeben, ob dort streng monoton steigt oder fällt.
„Weisen Sie nach, dass auf streng monoton … ist.“
Allgemeiner Nachweis mit der Definition, z. B. über das Vorzeichen von .
Sachzusammenhang: „Die Konzentration steigt bis …“, „nimmt ab dem Zeitpunkt … ab“, „wächst ständig“
Monotonieaussage über die Funktion, die die Größe beschreibt – mit Angabe des Zeitraums (Intervalls).
Intervallschreibweise
Intervall
Ungleichung
Bezeichnung
abgeschlossenes Intervall
(auch )
offenes Intervall
bzw.
bzw.
halboffenes Intervall
bzw.
bzw.
unbeschränktes Intervall
alle reellen Zahlen
Sprachliche Stolpersteine
„ ist steigend“ ohne Intervall ist unvollständig. Richtig: „ ist auf streng monoton steigend.“
Bei steht immer eine offene Klammer, denn ist keine Zahl.
„monoton steigend“ und „streng monoton steigend“ sind verschiedene Aussagen.
„Der Graph steigt“ beschreibt das Bild, „die Funktion ist monoton steigend“ die Funktion – beides ist üblich.
Darstellung in einer Monotonietabelle
Das Monotonieverhalten wird oft in einer Tabelle mit Pfeilen zusammengefasst, hier für (siehe Beispielaufgabe):
Der Scheitelpunkt ist , die Parabel ist wegen nach oben geöffnet.
2. Vermutung: ist auf streng monoton fallend und auf streng monoton steigend.
3. Nachweis allgemein. Für beliebige gilt:
Der erste Faktor ist wegen stets positiv. Das Vorzeichen hängt also vom zweiten Faktor ab:
Fall : Dann ist , also und damit , d. h. . → streng monoton fallend auf .
Fall : Dann ist , also und damit . → streng monoton steigend auf .
Monotonieintervalle von
Schritt
Ergebnis
Scheitelpunktform
,
auf
streng monoton fallend
auf
streng monoton steigend
4 Übungen
Die Teilaufgaben werden von a) nach f) schwieriger. Tragen Sie Ihre Ergebnisse ein und klicken Sie auf „Eingaben prüfen“. Grün heißt richtig, Gelb: der Wert stimmt, die Form noch nicht, Rot: noch nicht richtig.
Aufgabe 1 Monotonieverhalten bekannter Funktionen
Grundlagen
Geben Sie das Monotonieverhalten von an. Nutzen Sie bei quadratischen Funktionen die Scheitelpunktform.
ist auf .
ist auf .
ist auf .
ist für
und für .
ist für
und für .
ist
auf ,
auf ,
auf ganz .
Lineare Funktion mit : streng monoton fallend auf .
Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten: streng monoton steigend auf .
Exponentialfunktion mit Basis : streng monoton fallend auf .
Scheitelpunkt , nach oben geöffnet: streng monoton fallend für , streng monoton steigend für .
. Scheitelpunkt , nach unten geöffnet: streng monoton steigend für , streng monoton fallend für .
Auf und auf jeweils streng monoton fallend. Auf ganz ist nicht monoton: Gegenbeispiel , aber – der Funktionswert wird größer, obwohl die Funktion auf beiden Teilintervallen fällt.
Aufgabe 2 Monotonie am Graphen ablesen
Graph
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion mit . Lesen Sie die Monotonieintervalle ab.
ist streng monoton steigend für .
ist streng monoton fallend für .
ist streng monoton steigend für .
Auf dem Intervall ist .
Auf dem Intervall ist .
Entscheiden Sie ohne Rechnung, nur mithilfe der Monotonie:
Bis zum Hochpunkt steigt der Graph: streng monoton steigend für .
Zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt fällt der Graph: streng monoton fallend für .
Ab dem Tiefpunkt steigt der Graph wieder: streng monoton steigend für .
liegt ganz im Intervall : streng monoton steigend. Das Intervall enthält die Stelle , an der das Monotonieverhalten wechselt: nicht monoton (z. B. , aber ).
und liegen in , wo streng monoton fällt; aus folgt . und liegen in , wo streng monoton steigt: .
Aufgabe 3 Nachweis mit der Definition
Nachweis
Vervollständigen Sie die Nachweise. Dabei seien und beliebige Stellen aus dem angegebenen Intervall mit .
auf :
Da , ist . Also ist auf .
auf :
Für gilt: und ,
also . ist auf .
auf :
mit
Zähler , Nenner . Also ist auf .
auf :
Für ist , also ist auf .
Gegeben ist mit .
ist auf streng monoton steigend genau dann, wenn .
Für ist .
. Wegen ist die Differenz positiv: streng monoton steigend auf .
. Beide Klammern sind positiv (die zweite, weil und ), mit dem Minuszeichen ist die Differenz negativ: streng monoton fallend auf .
. Zähler , Nenner (beide Stellen positiv): Differenz negativ, also streng monoton fallend. Auf gilt dasselbe, weil auch dort ist.
(3. binomische Formel). Für ist , die Differenz also negativ: streng monoton fallend.
ist eine lineare Funktion mit der Steigung . Streng monoton steigend genau dann, wenn , also . Für ist konstant.
5 Sachaufgaben und weiterführende Aufgaben
Aufgabe 4 Wirkstoffkonzentration im Blut
Textaufgabe
Nach der Einnahme einer Tablette wird der Wirkstoff aus dem Darm ins Blut aufgenommen und gleichzeitig abgebaut und ausgeschieden. Die Konzentration im Blutplasma wird modelliert durch
Dabei ist die Zeit nach der Einnahme in Stunden und die Konzentration in .
Konzentrations-Zeit-Kurve
Lesen Sie ab: Die Konzentration ist am größten zum Zeitpunkt h.
ist auf und auf .
Entscheiden Sie ohne Rechnung:
Deutung:
„Weil auf streng monoton fällt, sinkt die Konzentration dort in jeder Stunde um denselben Betrag.“
Der Hochpunkt des Graphen liegt bei ; die maximale Konzentration beträgt .
Bis zum Hochpunkt steigt der Graph, danach fällt er: streng monoton steigend auf , streng monoton fallend auf .
liegen beide in (steigend): . liegen beide in (fallend): . Zur Kontrolle: , , , .
Die Konzentration nimmt ab, wenn pro Zeit mehr Wirkstoff aus dem Blut entfernt (abgebaut, ausgeschieden) als aufgenommen wird. Genau das gilt ab h.
falsch. Monotonie sagt nur, dass die Werte kleiner werden, nicht wie schnell. Am Graphen sieht man: Kurz nach dem Maximum sinkt schneller als gegen Ende. Ein gleichmäßiger Rückgang würde einen geradlinigen Verlauf bedeuten.
Aufgabe 5 Body-Mass-Index
Textaufgabe
Der Body-Mass-Index wird berechnet als ( Körpermasse in kg, Körpergröße in m, in ).
Für eine Person mit m gilt . Diese Funktion ist auf .
Für kg gilt . Diese Funktion ist auf .
Vervollständigen Sie den Nachweis zu b). Für gilt:
, daher , also .
Berechnen Sie (auf zwei Nachkommastellen gerundet):
ist linear mit positiver Steigung: streng monoton steigend. Bei gleicher Körpergröße hat die schwerere Person den größeren BMI.
streng monoton fallend: Bei gleicher Masse hat die größere Person den kleineren BMI.
Für positive Zahlen gilt: . Der Kehrwert kehrt die Reihenfolge um: . Multiplikation mit erhält sie: .
(bzw. ); . Wie erwartet: und .
Aufgabe 6 Bakterienwachstum und Wirkstoffabbau
Textaufgabe
Die Anzahl der Bakterien in einer Kultur wird beschrieben durch , die Konzentration eines Medikaments im Blut durch (jeweils in h, ; in ).
ist , ist .
Nachweis für mit dem Quotienten (möglich, weil alle Funktionswerte positiv sind). Für gilt:
mit .
Da der Exponent positiv und die Basis größer als 1 ist, gilt , also .
nimmt in jeder Stunde um % ab.
Eine Funktion mit und ist streng monoton fallend genau dann, wenn .
Die Funktion ist .
mit Basis : streng monoton steigend. hat die Basis : streng monoton fallend.
, also . Wegen ist der Exponent positiv und die Potenz größer als 1. Aus und folgt .
: Es bleiben jede Stunde übrig, die Konzentration nimmt also um ab.
Für : fallend genau dann, wenn ; für steigend, für konstant.
: Das Minuszeichen kehrt das Monotonieverhalten um. Da streng monoton fällt, ist streng monoton steigend.
Aufgabe 7 Wahr oder falsch?
Wahr/Falsch
Entscheiden Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung in Ihren Notizen und vergleichen Sie mit der Lösung.
Die Funktion ist auf streng monoton steigend.
Eine konstante Funktion ist monoton steigend und monoton fallend zugleich.
Gilt , so ist auf streng monoton steigend.
Ist auf streng monoton steigend, so ist auf streng monoton fallend.
Die Funktion ist auf ihrer Definitionsmenge streng monoton fallend.
Ist der Graph von achsensymmetrisch zur -Achse und auf streng monoton steigend, so ist auf streng monoton fallend.
falsch. Gegenbeispiel: , aber . Richtig ist: fallend auf , steigend auf .
wahr. Für gilt , also sowohl als auch . Streng monoton ist sie nicht.
falsch. Zwei Funktionswerte sagen nichts über den Verlauf dazwischen. Gegenbeispiel: mit , aber fällt auf .
wahr. Aus folgt durch Multiplikation mit : .
falsch. , aber . fällt nur auf jedem der beiden Teilintervalle und einzeln.
wahr. Für gilt . Weil auf steigt: . Mit der Achsensymmetrie folgt . Beispiel: .
Aufgabe 8 Nehmen Sie Stellung
Stellungnahme
Nehmen Sie Stellung zu den Aussagen. Wählen Sie die zutreffende Beurteilung und formulieren Sie Ihre Stellungnahme in vollständigen Sätzen in Ihren Notizen.
Bei einer Patientin wird alle zwei Stunden die Körpertemperatur gemessen:
Uhrzeit
8:00
10:00
12:00
14:00
Temperatur in °C
37,2
37,9
38,6
39,1
Pfleger: „Die Temperatur ist zwischen 8 und 14 Uhr streng monoton gestiegen.“
Jonas: „ ist auf streng monoton steigend. Also ist auch auf streng monoton steigend, denn auch hier kommen nur ungerade Exponenten vor.“
Sofia: „Ist der Graph von punktsymmetrisch zum Ursprung und auf streng monoton fallend, dann ist auf ganz streng monoton fallend.“
Mögliche Stellungnahme: Die Messwerte werden zwar von Messung zu Messung größer, die Aussage ist damit aber nicht bewiesen. Monotonie ist eine Aussage über alle Zeitpunkte des Intervalls; über den Verlauf zwischen den Messzeitpunkten wissen wir nichts – die Temperatur könnte zwischendurch kurz gesunken sein. Die Messwerte machen einen ansteigenden Verlauf nur plausibel. (Dass die Zunahmen unterschiedlich groß sind, spricht übrigens nicht gegen Monotonie.)
Mögliche Stellungnahme: Die Aussage ist falsch. Ungerade Exponenten sind ein Kriterium für Punktsymmetrie, nicht für Monotonie. Gegenbeispiel: , aber und , also . Der Graph von ist zwar punktsymmetrisch zum Ursprung, steigt aber nicht überall.
Mögliche Stellungnahme: Die Aussage ist richtig. Für gilt . Weil auf fällt, ist . Mit folgt , also : fällt auch auf . Da beide Intervalle die Stelle gemeinsam haben, fällt auf ganz . Beispiel: .
6 Das Wichtigste auf einen Blick
heißt auf …
wenn für alle aus gilt:
Graph
streng monoton steigend
steigt
monoton steigend
steigt oder verläuft waagerecht
streng monoton fallend
fällt
monoton fallend
fällt oder verläuft waagerecht
Vorgehen beim Untersuchen auf Monotonie (ohne Ableitung)
Funktionstyp erkennen und Monotonieverhalten der Grundfunktion nutzen (Steigung, Scheitelpunkt, Basis, Exponent).
Monotonieintervalle mit Intervallen oder Ungleichungen angeben; Wechselstellen dürfen zu beiden Intervallen gehören.
Nachweis: Vorzeichen von für bestimmen (bei positiven Funktionswerten auch: mit vergleichen).
Widerlegung: ein Gegenbeispiel angeben.
Zusammenhang mit der Symmetrie
Graph achsensymmetrisch zur -Achse: Das Monotonieverhalten kehrt sich um (steigend auf ⇔ fallend auf ).
Graph punktsymmetrisch zum Ursprung: Das Monotonieverhalten bleibt gleich (steigend auf ⇔ steigend auf ).
Typische Fehler
Monotonie aus zwei oder wenigen Funktionswerten folgern.
Monotonie „an einer Stelle“ angeben oder das Intervall weglassen.
auf ganz für fallend halten.
Monotonie mit gleichmäßiger Änderung verwechseln: „fällt“ heißt nicht „fällt jede Stunde um denselben Betrag“.
Beim Kehrwert die Umkehrung der Reihenfolge vergessen: für positive Zahlen gilt .